Логические операции и формулы

Решение логических задач средствами алгебры логики
Разнообразие логических задач очень велико. Способов их решения тоже немало. Мы
рассмотрим следующие два способа решения логических задач:
Решение логических задач с помощью формул
В условии приводится несколько двойных утверждений, в которых одно утверждение
ИСТИННО, а второе ЛОЖНО.
Обычно используется следующая схема решения:
1. Изучить условие задачи
2. Ввести систему обозначений для логических высказываний;
3. Конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми
высказываниями условия задачи;
4. Определяются значения истинности этой логической формулы;
5. Из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности
введённых логических высказываний, на основании которых делается заключение о
решении.
Задача 1 Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский,
японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим
изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский".
Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других
ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?
Решение. Введем обозначения для логических высказываний:
1. Вадим изучает китайский – Вк
2. Сергей изучает китайский – Ск
3. Михаил изучает арабский – Ма
(Вк · Ск · Ма) V (Вк · Ск · Ма) V (Вк · Ск · Ма) = (Вк · Ск · Ма) V (Вк · Ск · Ма) V (Вк · Ск · Ма) =
= Вк · Ск · Ма
Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.
Задача 2 При составлении расписания на пятницу были высказаны пожелания, чтобы
информатика была первым или вторым уроком, физика — первым или третьим, история —
вторым или третьим.
Можно ли удовлетворить одновременно все высказанные пожелания?
Решение:
1. Введем следующие обозначения в соответствии с условием:
Информатика – И1, И2
Физика – Ф1, Ф3
История – Ис2, Ис3
2. Составим логическую формулу исходя из условия задачи
(И1 V И2)  (Ф1 V Ф3)  (Ис2 V Ис3)=
3. Упростим ее раскрыв все скобки
=(И1  Ф1 V И2  Ф1 V И1  Ф3 V И2  Ф3)  (Ис2 V Ис3)=
=И1  Ф3  Ис2 V И2  Ф1 Ис2 V И2  Ф3 Ис2 V И1  Ф3  Ис3 V И2  Ф1 Ис3 V И2  Ф3 Ис3
4. Ответ: Возможны два варианта расписания
1 Информатика
2 История
3 Физика
1 Физика
2 Информатика
3 История
Д/З
Внимание Андрея, Дениса и Марата привлек промчавшийся мимо них автомобиль.
- Это английская машина марки «Феррари», - сказал Андрей.
- Нет, машина итальянская марки «Понтиак», - возразил Денис.
- Это «Сааб», и сделан он не в Англии, - сказал Марат.
Оказавшийся рядом знаток автомобилей сказал, что каждый из них прав только в одном из двух
высказанных предположений.
Какой же марки этот автомобиль и в какой стране изготовлен?