Шпаргалка для «троечника» по материалам задания ЕГЭ с

Шпаргалка для «троечника» по
материалам заданий ЕГЭ с прошлых
лет.
Технический редактор:
ученик 11 класса
Мишкин Михаил.
Идея: учителя математики
Бичурга-Баишевской СОШ
Петровой Галины Александровны.
с. Бичурга-Баишево. 2007г.
К радости учителей материалы ЕГЭ последних двух лет и
демонстрационный вариант 2008 года показывает, что сложность
заданий на экзамене перестала увеличиваться. Задания стали более
или менее стандартные это даёт возможность учащимся лучше к
экзаменам.
Цель этой работы состоит в помощи ученику, которому самому
трудно сориентироваться в обилии материала по подготовке к ЕГЭ
по математике. Мы попытались дать небольшой теоретический
материал к каждому заданию из группы «А» и подпор из
нескольких вариантов задачи данного типа.
Хочется предупредить, что в некоторых вариантах задания могут
быть переставлены. Например: задание «найти множество значений
функции» может стать в одном варианте в А5, в другом в А6.
А1.Степень с рациональным показателем.
Для любых действительных чисел r
положительных a и b выполняются равенства
1. ar * as = ar+s
2. ar : as = ar+s
3. (ar)s = ar-s
4. (ab)r = ar * br
5.
и
a
ar
( )r = r
b
b
Если r – отрицательное число, то ar =
1
a r
, a ≠ 0.
s
для
любых
А2. Определение логарифма, свойства логарифмической
функции.
Логарифмом числа b по основанию a называется показатель
степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить число b.
Основное логарифмическое тождество: alogab = b, a > 0, a ≠ 1.
Свойства логарифмов: при любых a > 0 и a ≠ 1, b > 0, c > 0.
Справедливы равенства: loga(bc) = logab + logac
loga b = logab - logac
c
logac =
log b c
log b a
logabk = k logab
А3. Корень n-й степени.
Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа a
называется число, n-я степень которой равна a.
Пример: 4 16 = 2, т.к. 2 > 0, 24 = 16
3
 8 = – 3 8 = –2
Свойства корня:
А4. В задании А4 задачи в основном идут с графиками типа:
1.
2.
3.
Указать возрастающую или убывающую на заданном
промежутке.
Показать чётность (симметрия относительно Oy) или нечётность
(симметрия относительно начала координат) функции.
Выбрать из заданных графиков конкретную функцию.
Напомним:
y = logax,
y = ax,
a>1
0<a<1
a>1
0<a<1
A4
На одном из следующих рисунков изображен график нечетной функции. Укажите этот
рисунок.
y
1)
y
2)
0
0
x
x
3)
4)
y
y
0
0
x
x
А5. Производная функции:
A5
Найдите производную функции y  ( x  3)cos x .
1)
у   cos x  ( x  3) sin x
2)
у  ( x  3) sin x  cos x
3)
у  cos x  ( x  3) sin x
4)
у   sin x
А6. Множество значений функции.
Пример: y =
7
cos
3
x.
y = 1.5 + log1.5x
-1 ≤ cos x ≤ 1
7
7
 ≤ cos x ≤
7
3
3
3
7 7
Ответ: y  [  ; ].
3 3
Можно воспользоваться
ограниченностью функции.
E(y) = (–∞;+∞)
Можно использовать схематический
график функции.
A6
Укажите множество значений функции
1) (5; + ∞)
A7
2) (0; + ∞)
y  2 x  5.
3) (– ∞; + ∞)
4) (7; + ∞)
Какое из следующих чисел входит в множество значений функции
у  2х  4 ?
1) 5
2) 2
3) 3
4) 4
А7. Тригонометрические уравнения.
sin x = a
x = (-1)karksin a + πk.
Частные случаи: sin x = 0;
x = πk
sin x = 1;
x =  + 2πk
2
sin x = -1
x = -  + 2πk
2
cos x = a
x = ±arccos a + 2πk.
Частные случаи: cos x = 0;
x =  + πk
2
cos x = 1;
x = 2πk
cos x = -1
x = π + 2πk
tg x = a
x = arctg a + πk, k  Z.
ctg x = a
x = arcctg a + πk, k  Z.
А8. Неравенства показательные и логарифмические:
32x >
1
81
32x >
1
81
32x > 3-4 (a=3>1, функ–я возрастает) ( 1 )-2x > ( 1 )4 (a= 1 <1, функ–я убывает)
3
2x > -4
x > -2
3
3
-2x < 4 (при делении нера–ва на отриц. число
x > -2 нер–ва меняется на противоположный)
log 1 (x-3) > -1
7
log 1 (x-3) log 1 7, т.к. функ–я y = log 1 t убывает,
7
7
7
0 < x-3 < 7
3 < x < 11
log7(x-3) > -1
log7(x-3) > log7 1 , т.к. функ–я возрастает,
7
x-3 >
x>
3
1
7
1
7
А9. Графическое решение неравенств.
Если мы решаем f(x) > g(x), то это значит, график f(x) расположен
выше графика g(x), и наоборот, если f(x) < g(x), то график f(x) ниже
графика g(x). Надо хорошо смотреть на неравенство: если знак «>»
или «<» то абсциссы точек пересечения графиков не войдут, если
«≥» или «≤», то абсциссы точек пересечения графиков войдут.
А10. Область определения функции.
Запомни:
1.
2.
3.
Под корнем чётной степени не может стоять
отрицательное выражение.
Под логарифмом может стоять только положительное
выражение.
Знаменатель дроби не может равняться 0.
Пример: y =
1
 
3
1
1
( ) 5 4 ч 
3
27
5 4 

1
0
27
1
 
3
5 4 
1
 
3
3
5-4x ≤ 3
4x ≥ 2
x ≥ 0.5
x [0.5 ;∞)
A8
Найдите область определения функции
1)
2)
3)
4)
A10
f  x 
25 .
3 4 x
 0; 3    3;   
 0;   
 0; 81   81;   
  ; 81   81;   
Укажите область определения функции
1) (0; 3]
2) (0; 1000 ]
y  3  lg x .
3) (3; 1000 ]
4) [1000;  )