МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ «Динамика» ТМд-М по использованию в учебном процессе

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
по использованию в учебном процессе
комплекта демонстрационного оборудования
«Динамика» ТМд-М
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
1. Устройство запуска гироскопов. ТМд-01м…………….………………..3
2. Гироскоп ТМд-02м ………….…………………………………………...4
3. Прибор «Резонатор Фрама». ТМд-03м ………………………………….9
4. Установка «Центр удара». ТМд-04м …………………………………..15
5. Гироскоп с тремя степенями свободы. ТМд-05м ………………….…18
6. Прибор для демонстрации кориолисовой силы инерции ТМд-06м….24
7. Маятник с пружинами ТМд-07м ……………………………………….28
8. Прибор. «Физический маятник». ТМд-08м ………………………….38
9. Модель «Качение тел с разными моментами инерции». ТМд-09м ….44
10. Модель. «Момент количества движения твердого тела». ТМд-10м..55
Список литературы…………………………………………………………57
2
1. Устройство запуска гироскопов. ТМд-01м
Описание модели
Модель содержит ручную электрическую машину и тахометр
регистрации частоты вращения ее выходного вала. Электрическая машина
представляет
собой
установленные
в
пластмассовом
корпусе
электродвигатель и редуктор. Питание электродвигателя и тахометра
осуществляется от сети переменного тока напряжением 220 в. Максимальная
скорость вращения вала машины – 2700 об/мин, потребляемая мощность 550
вт.
На рукоятке электрической машины установлены регулятор частоты
вращения выходного вала, совмещенный с выключателем электродвигателя,
и переключатель диапазонов регулировки. На выходном валу закрепляется
ролик разгона гироскопов с резиновым кольцом на наружной поверхности.
Внешний диаметр резинового кольца ролика равен 0,08 м. Внутри корпуса
электромашины вблизи вентилятора ее охлаждения установлен
оптоэлектронный датчик, фиксирующий отражение света от лопастей
вентилятора. Сигнал с этого датчика поступает в тахометр и после
соответствующего преобразования на табло тахометра индексируется число
n об/мин выходного вала.
Применение модели
Сначала с помощью переключателя диапазонов регулировки
необходимо выбрать нужный интервал скоростей выходного вала. Затем
ролик следует прижать наружной поверхностью резинового кольца к торцу
ротора того или иного прибора например, гироскопа или резонатора Фрама
на выбранном расстоянии от оси вращения ротора, включить
электродвигатель и постепенно посредством регулятора частоты вращения
выходного вала довести ее до требуемого значения. Угловая скорость
вращения задаваемая таким путем ротору демонстрируемого или
исследуемого прибора, определяется соотношением:
nD
,

30r
где n - число оборотов выходного вала электрической машины по
показаниям индикатора тахометра;
D - наружный диаметр ролика разгона;
r - расстояние от оси вращения раскручиваемого ротора до окружности
контакта ролика с ротором (радиус окружности контакта).
Следует отметить, что регистрация скорости вращения ролика и,
соответственно, ротора необходима, например, при демонстрации резонатора
Фрама или исследовании движения гироскопа. По достижении необходимой
угловой скорости разгона ротора ролик электрической машины отводится от
поверхности ротора и ее электродвигатель отключается.
3
2. Гироскоп ТМд-02м
Установка предназначена для демонстрации вынужденной регулярной
прецессии гироскопа.
Дифференциальные
уравнения
движения
гироскопа
вокруг
неподвижной точки.
Рассмотрим движение гироскопа (рис.2.1) вокруг неподвижной точки
О в однородном поле тяжести. Ось OZ неподвижной системы координат
направим вертикально вверх. С ротором жестко свяжем систему координат
Oxyz, оси которой направим вдоль главных осей инерции ротора в
неподвижной точке О.
Рис. 2.1. Гироскоп Лагранжа
Для получения уравнений движения воспользуемся теоремой об
изменении кинетического момента. Если K o и Leo — кинетический момент
гироскопа и главный момент внешних сил относительно неподвижной точки
О, то, согласно теореме об изменении кинетического момента
dK o
 Leo
dt
4
(1)
Ориентацию тела относительно неподвижной системы координат
будем определять при помощи углов Эйлера , ,  которые вводятся
обычным образом.
Пусть x , y , z — проекции угловой скорости подвижной системы
координат Oxyz на ее оси.
Проекции вектора угловой скорости выражаются из кинематических
уравнений Эйлера
 cos 
 sin  sin   
 
x
 sin  cos    sin 
y  
(2)
 cos   
z  
Если абсолютную производную вектора K o выразить через его
локальную производную, то уравнение (1) запишется в виде
~
dK o
(3)
 ω  K o  Leo
dt
Моменты инерции ротора относительно осей Ox, Oy, Oz обозначим
Ix , Iy , Iz .
Тогда компоненты вектора K o выражаются через величины x , y , z
и элементы тензора инерции для точки О.
I x 0 0 
I o    0 I y 0 
(4)
 0 0 I z 
Пусть Мх, Mу, Мz — проекции вектора Leo на оси Оx, Оy, Оz. Toгда
векторное уравнение (3) запишется в виде следующих скалярных уравнений:
 x  ( I z  I y )  y z  M x ,
Ix 
 y  ( I x  I z )  x z  M y ,
Iy 
(5)
 z  ( I y  I x ) x  y  M z .
Iz 
Уравнения (5) называются динамическими уравнениями Эйлера.
Для гироскопа Лагранжа ось Oz является осью динамической
симметрии, следовательно I x  I y , а эллипсоид инерции для неподвижной
точки О является эллипсоидом вращения.
Гироскоп, центр масс которого смещен вдоль главной оси Oz
гироскопа, называется гиромаятником. Расстояние от неподвижной точки О
до центра тяжести С обозначим l, а силу тяжести Р .
5
Внешними силами, действующими на тело, являются сила тяжести и
реакция опоры N в точке О. Последняя не создает момента относительно
точки О, а момент Mo силы тяжести Р относительно точки О равен
Mo  rc  P .
Если Мх, My, Мz — проекции Мo на оси Ох, Оу, Oz, то получим
M x  P l sin  cos  ,
M y   P l sin  sin ,
(6)
M z  0.
Таким образом, динамические уравнения (5) имеют вид
 x  (I z  I y ) y z  P l sin  cos  ,
Ix 
 y  (I x  I z ) x z   P l sin  sin ,
Iy 
(7)
 z  0.
Iz 
Уравнения (2), (7) образуют замкнутую систему шести
дифференциальных уравнений, описывающую движение гироскопа
Лагранжа вокруг неподвижной точки.
Из уравнений (2) и (7) получим полные уравнения движения гироскопа
Лагранжа
  I sin   
  0,
  (I z  I x ) sin 2 
 
(I x  (I z  I x ) cos2 ) 
z
(8)
2
  12 (I  I ) sin 2 



Ix 

I
sin




P
l
sin


0
,
z
x
z
Рассмотрим установившейся режим движения, т.е. случай при котором
  const,   const, и, обозначив    из второго уравнения (8)
  const, 

получим
1
2
 2  I z  sin  
  P l sin   0,
(I z  I x ) sin 2 
(9)
После сокращения на sin   0 , что допустимо для движения реального
.
прибора, получим алгебраическое квадратное уравнение относительно 
 2  Iz 
  P l sin   0,
(I z  I x ) cos 
(10)
Дискриминант уравнения выражается как
D  I z  2  4 ( I z  I x ) cos P l,
2
а
(11)
D имеет приближенное значение
 2 ( I z  I x ) cos Pl
D  I z  1 
2
I z 2

Корни данного уравнения выражаются как
6

,


(12)
 1, 2 

 Iz   D
,
2 ( I z  I x ) cos
Таким образом
1

Pl
,
Iz 
 2 

Iz 
Pl

,
I z  ( I z  I x ) cos
Корень  1 соответствует значению медленной прецессии гироскопа,
которая обычно наблюдается при проведении эксперимента. Корень  2
имеет дополнительную «быструю составляющую», которая эффективно
затухает.
Движение гироскопа Лагранжа под действием постоянного момента
представляет собой вынужденную регулярную прецессию, т. е. что вектор
угловой скорости собственного вращения имеет постоянную величину,
вектор угловой скорости прецессии — постоянную величину и постоянное
направление, а угол нутации сохраняет постоянное значение.
Описание модели.
Рис. 2.2. Установка «Гироскоп»
Ротор 1 гироскопа представляет собой симметричный диск, ось
вращения 2 которого Oz установлена в шарикоподшипниковых опорах в
кожухе 3. Кожух предназначен для удобного обращения с вращающимся
ротором. На концах оси ротора имеются закругленные цапфы. Ось ротора
7
устанавливается цапфой на подставку 4. В случае, когда ротор не вращается,
он фиксируется на подставке при помощи арретира 5.
Разгон ротора осуществляется при помощи разгонной машинки в
зафиксированном при помощи арретира положении. Частота вращения
разгонной машинки отображается на пульте частотомера.
Проведение эксперимента
1. Разориентируйте гироскоп, и удерживая его в вертикальном
положении, запустите при помощи разгонной машинки. Запомните частоту
вращения разгонной машинки, показанную на табло частотомера.
2. Отклоните гироскоп от вертикального положения на 10-150 и
отпустите. Гироскоп начнет прецессировать. Подсчитайте количество
полных оборотов на интервале 2-3 минуты. Запишите результаты.
3. Заново запустите гироскоп. Отклоните гироскоп от вертикального
положения на 20-300 и отпустите. Гироскоп начнет прецессировать.
Подсчитайте количество полных оборотов на интервале 2-3 минуты.
Запишите результаты.
4. Рассчитайте угловую скорость прецессии в обоих случаях.
Параметры установки
- Масса ротора и кожуха, m = 1,1 кг,
- момент инерции ротора относительно оси Oz, Iz = 2,858∙10-3 кг∙м2,
- расстояние от неподвижной точки О до центра тяжести С, l = 0,104 м,
- радиус дорожки, по которой вращается колесо разгонной машинки,
(средний), R = 0,053 м,
- радиус колеса разгонной машинки, r = 0,040 м,
- частота вращения колеса разгонной машинки, n = 2500 – 2700 об/мин,
- угловая скорость вращения ротора гироскопа Ω рассчитывается по формуле
2 r
   n ,
60 R
mgl
 рассчитывается по формуле  
- угловая скорость прецессии 
,
Iz 
60
.
- частота прецессии ν рассчитывается по формуле    
2
Проделав расчеты частот прецессии ν для каждой серии экспериментов
и сравнив полученные результаты, можно сделать вывод о том, что для
гироскопа Лагранжа частота прецессии ν (угловая скорость прецессии
 ) не зависит от угла нутации (определяющего отклонение оси Oz

гироскопа от вертикальной оси OZ).
8
3. Прибор « Резонатор Фрама». ТМд-03м
Описание модели.
Модель предназначена для демонстрации явления резонанса при
колебаниях механических систем.
В технике резонатор Фрама применяется для определения собственных
частот колебаний машин больших габаритов (турбин, отсеков кораблей,
станков и т.п.). Он может быть использован также для замера угловой
скорости вращения твердого тела, т.е. в качестве тахометра.
Модель содержит диск 1 (рис. 3.1), ось 2 которого установлена в
подшипниках кольца 3, неподвижно закрепленного на стойке 4 основания 5.
На кольце, в свою очередь, неподвижно установлена обойма 6 отдельных
резонаторов в виде пластинчатых пружин 7 различной длины с
закрепленными на их концах грузами 8 одинаковой массы М. В диске
просверлено отверстие 9, что приводит при его вращении к динамической
неуравновешенности некоторой массы m .
Диск приводится во вращение с помощью того или иного прибора для
раскрутки, например, прибора для запуска гироскопов (модель ТМд-01м). По
мере раскрутки частота вращения диска последовательно достигает частот
собственных колебаний отдельных резонаторов. При совпадении частоты
вращения диска с частотой собственных колебаний того или иного
отдельного резонатора амплитуда колебаний его груза резко возрастает, что
и наблюдается визуально.
Рис. 3.1 Общий вид модели.
Принцип действия резонатора Фрама.
9
При равномерном вращении диска 2 с угловой скоростью  сила
инерции для неуравновешенной массы m (см. рис. 3.2) вычисляется по
формуле
Ф  ma п  m2 r ,
где r - расстояние от центра диска до центра высверленного в нем
отверстия;
a п  2 r - нормальное ускорение точки диска с радиусом, равным r .
Проекция этой силы на ось y , перпендикулярную кольцу и,
соответственно, обойме равна
Fy  m r sin t .
Дифференциальное уравнение движения обоймы 6 с массой m6 по оси
y выражается соотношением:
m6 y6   6 y 6  c6 y 6  m2 r sin t ,
где c 6 и  6 - коэффициенты упругости и сопротивления при колебаниях
обоймы.
Решение этого дифференциального уравнения, т.е. уравнение движения
обоймы имеет вид:
y 6  A sin( t  ),
где A - амплитуда колебаний обоймы,
 - запаздывание этих колебаний от изменений силы F y .
Это колебательное движение обоймы с защемленными в ней концами
пружин вызывает вынужденные колебания как свободных частей самих
пружин, так и закрепленных на них грузов.
Рис. 3.2. Сила инерции. Рис. 3.3. Деформация пружины
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний груза 6 при
изгибной деформации пластинчатой пружины (рис. 3.3) с учетом массы
пружины mn имеет вид
Y  2nY  k 2Y  k 2 Asin( t  ),
10

c
aEJ
; k2 
; c  3 ; mn   n l ,
( m n / 4)  M
( m n / 4)  M
l
n – коэффициент затухания,
k - круговая частота собственных колебаний груза,
c – коэффициент жесткости,
 n ,l ,  - линейная плотность,
длина пружины и коэффициент
сопротивления;
EJ - изгибная жесткость пружин (постоянная для всех пружин);
a  3 - при консольном закреплении пружины.
При резонансе
где 2n 
1/ 2
1/ 2




aEJ
aEJ
 k   3


 3
 .
 l ( M  (mn / 4)) 
 l M (1  ( n / 4 M )l ) 
Если при демонстрации прибора диск 2 раскручивается с помощью
специальной машинки до угловой скорости  , большей максимальной
угловой скорости, соответствующей резонансу в системе, а затем диск
тормозится, то угловая скорость сначала снижается до частоты 1 , которая
равна резонансной частоте для груза с наибольшей собственной частотой k
(с наименьшей длиной пружины). При дальнейшем снижении угловой
скорости диска в резонанс последовательно вступают остальные системы
груз – пружина. Отношение собственных частот i -го и j -го грузов при
резонансе определяется соотношениями:
l 3j / 2 (1  ( n / 4 M )l 1j / 2
k i i


,
k j  j li3 / 2 (1  ( n / 4 M )li )1 / 2
или при mn  M :
3/ 2
k i i l j


.
k j  j li3 / 2
Из этих отношений видно, что при торможении диска первой в резонанс
вступает система груз-пружина с наибольшей собственной частотой k , т.е. с
наименьшей длиной пружины.
Резонатор Фрама может быть использован для определения угловых
скоростей вращающихся частей машин (тахометр Фрама). Резонатор Фрама в
этом случае укрепляется на корпусе машины.
Описываемый прибор является моделью, в которой роль вращающихся
частей машин выполняет диск 2.
Угловая скорость определяется в этом случае по формуле
1/ 2


B
  3
 .
l
(
1

B
l
1 i
i
Здесь B  aEJ / M , B1   n / 4 M - величины постоянные для любого
резонатора (груза на пружине).
11
При вычислении величины  в формулу подставляется длина l i
пружины груза, вступившего в резонанс при данной угловой скорости.
Порядок проведения демонстрации модели.
При проведении демонстрации явления резонанса сначала необходимо
раскрутить диск 1 модели с помощью прибора для раскрутки, например,
модели ТМд-01м). При этом по мере увеличения скорости вращения диска
будут последовательно приходить в интенсивное колебательное движение
отдельные резонаторы модели при совпадении частоты вращения диска с
частотами их собственных колебаний , т.е. в условиях резонанса. В эти
моменты необходимо регистрировать показания тахометра прибора для
раскрутки, т.е. записывать значения числа оборотов выходного вала прибора.
Измеренную таким образом частоту вращения диска можно вычислить
по соотношению:
2n Dn
,
ki 

60 d д
где n - зарегистрированное число оборотов выходного вала прибора для
раскрутки;
Dn - диаметр диска раскрутки, закрепленного на выходном валу этого
прибора;
d д - диаметр окружности контакта указанного диска с диском 1
прибора при раскрутке.
После достижения максимальной угловой скорости вращения диска
раскрутка прекращается и начинается постепенное торможение диска. При
этом по мере снижения угловой скорости вращения фиксируются моменты
резонансного движения отдельных грузов.
Частоты ki собственных колебаний грузов можно определить, в свою
очередь, расчетным путем, используя тарировки жесткости пружин и
массовые характеристики отдельных резонаторов.
Массы грузов резонаторов одинаковы и, по данным изготовителя
модели масса M каждого отдельного груза равна 2,5 г. Массы пружин
резонаторов могут быть получены либо их взвешиванием либо расчетным
путем по формуле:
mп = γ b h l,
где γ = 7800 кг/м3 - удельная плотность материала (стали) пружин,
b = 0,5 мм и h = 12 мм – толщина и ширина поперечного сечения
пружины,
l – длина пружины от заделки до центра груза.
12
Тарировка жесткости пружин резонаторов данной модели была проведена
при горизонтальном расположении резонаторов путем подвешивания гирь
различного веса в центральных точках грузов резонаторов и измерения
отклонений этих точек от начального ненагруженного положения.
Результаты тарировок приведены на рис. 3.4.
Рис. 3.4. Тарировочные характеристики пружин резонаторов.
Значения изгибной жесткости EI пружин, необходимые для расчета
собственных частот ki колебаний резонаторов, определяются соотношением:
EI = ρ L,
где L = P h -изгибающий момент в заделке,
P – сила, приложенная к грузу,
h - плечо этой силы,
ρ - радиус кривизны центрального сечения пружины при изгибе (см.
рис. 3.5.
Радиус кривизны ρ, в свою очередь, с использованием результатов
тарировок для каждой пружины можно вычислить по формуле:
Y = ρ ( 1 – cos(l/ρ) ),
где Y – отклонение груза резонатора под действием силы P.
13
Рис. 3.5. Зависимость частот ω и k резонаторов от длины пружины
и схема нагружения резонаторов при их тарировке.
Результаты экспериментального определения резонансных частот
модели и расчетов характеристик резонаторов, выполненных при
максимальной величине нагружающей силы P, приведены в таблице 3.1.
Таблица 3.1.Основные характеристики резонаторов модели
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
l ,
м
0,0820
0,0750
0,0680
0,0633
0,0555
h,
м
0,0792
0,0726
0,0656
0,0616
0,0545
  10 2
м
18,01
16,98
14,55
15,69
16,77
m  10 3
кг
3,84
3,51
3,18
2,96
2,60
M,
нм
0,1554
0,1424
0,1286
0,1209
0,1069
EJ ,
нм2
0,0280
0,0242
0,0187
0,0190
0,0179
K,
1/с
203,5
218,7
225,3
254,9
305,3
,
1/с
195,0
209,0
237,0
247,0
289,0
Кроме того, на рис. 3.5. значения ω и k для резонаторов данной модели
представлены в виде зависимости этих частот от длины пружины. Здесь
следует отметить хорошее совпадение экспериментальных значений
резонансных частот с частотами собственных колебаний резонаторов.
14
4. Установка «Центр удара». ТМд-04м
Описание модели
4
0
5
Oz
O1 z
2
4
1
3
A
Рис. 4.1 Схема установки
На рис 4.1 приведена схема установки. Стержень 1 может вращаться вокруг
неподвижной оси Oz. Ударник 2 вращается вокруг оси O1z. Ударник 2 при
эксперименте находится в отклоненном состоянии и отпускается без
начальной скорости. В положении, указанном на рисунке, ударником
производится удар по неподвижному стержню 1. Выступ 3 может
перемещаться вдоль ударника и ударяет по стержню 1 в различным точках на
нем.
Теория.
Теоретическая расчетная схема представлена на рис 4.2 . Однородный
стержень находится в покое в вертикальном положении и к этому стержню в
точке A приложен ударный импульс S . Положение точки удара в
эксперименте изменяется.
Составим уравнения для определения угловой скорости стержня 1 после
удара и реакции в опоре O:
J Oz  z   S  OA , mu Cx  S Ox  S , muCy  0  SOy ,
где  z , uC uCx , uCy  – угловая скорость стержня и скорость центра масс
стержня после удара.
15
Здесь использованы уравнения вращения стержня вокруг неподвижной
оси Oz и теорема о движении центра масс стержня 1 для удара. Уравнение
l
связи u Cx   z , где l – длина однородного стержня.
2
y
SOy
SOx
S
l/2
x
C
L
2l/3
Oz
C
Ц. уд.
S
(+)
-0,5S
L
A
Рис. 4.2. Теоретическая расчетная схема
Определим S Ox , S Oy  0 .
S Ox  muCx  S  m z
S  OA
l
.
 S ; z  
2
J Oz
Для S Ox имеем
SOx  
mlSL
S.
2 J Oz
ml 2
, и тогда
3
 3 L
 S 1 
.
 2l
Для однородного стержня J Oz 
S Ox
Центром удара называют такую точку A, при ударе в которую импульс
2
ударной реакции S O равен нулю, т.е. S Ox  0 . Тогда L  l , т.е. центр удара
3
3SL
2S
2
находится на расстоянии L  l от точки O, а  z   2  
.
ml
3
ml
16
Эксперимент.
1. Из теории ясно, что центр удара существует, и что ударный импульс S
должен быть приложен перпендикулярно стержню (оси Oy), т.е.
перпендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения Oz и центр
масс стержня. Кроме того, в этой плоскости центр удара и центр масс
находятся по одну сторону от оси вращения. На установке установлены
стрелки 4 и шкала 5. Если удар произведен в центр удара, то стрелки
останутся неподвижными, так как удар не передается на опору.
2. Если удар произведен в любую другую точку, то ставится задача
определения угловой скорости стержня и S Ox . Величина S Ox определена
3SL
выше, а  z   2 , здесь L выбирается экспериментатором. Знак «минус»
ml
означает, что угловая скорость стержня после удара направлена по часовой
стрелке.
Построим линейную зависимость S Ox  S Ox L  (рис. 4.2). Для удара в точку
l
центра масс C ( L  ) получим S Ox  0,25S , для L  l имеем S Ox  0,5S .
2
Здесь принято допущение, что при любом ударе ударником 2 по стержню 1
импульс от удара постоянен и равен S. Ясно, что положение точки центра
удара от S не зависит. Если условие S=Const выполнено, то зависимость
S Ox L  линейна.
В связи с тем, что S Ox меняет знак, то при монотонном изменении
величины L отклоняется сначала одна из стрелок, а затем другая, и
отклонения стрелок должны быть пропорциональны величине S Ox .
17
5. Гироскоп с тремя степенями свободы. ТМд-05м
Гироскопы с тремя степенями свободы (гироскоп в кардановом
подвесе) является чувствительным элементом систем ориентации,
автопилотов и навигационных инерциальных систем, а также для управления
прицелами, антеннами и другими устройствами. На основе гироскопа в
кардановом подвесе строятся гировертикали и гирополукомпасы.
Описание модели.
Гироскоп в кардановом подвесе (рис. 5.1) представляет собой
механическую систему, состоящую из трёх тел: ротора 1, внутренней 2 и
наружной 3 рамок карданова подвеса.
Рис. 5.1. Гироскоп в кардановом подвесе.
Карданов подвес обеспечивает свободу вращения ротора гироскопа
вокруг неподвижной точки О и состоит из двух рамок, каждая из которых
имеет ось вращения. Ротор 1 гироскопа вращается вокруг своей оси Oz
относительно внутренней рамки 2. Внутренняя рамка 2 вместе с ротором
поворачивается вокруг своей оси Ox относительно наружной рамки 3, а
наружная рамка вместе с внутренней и ротором гироскопа – вокруг своей оси
Oy1 относительно основания 4.
18
Гироскоп, у которого неподвижная точка О совпадает с центром масс,
называется астатическим.
Разгон ротора осуществляется при помощи разгонной машинки.
Частота вращения разгонной машинки отображается на пульте частотомера.
Дифференциальные уравнения движения гироскопа установленного на
неподвижном основании.
Выберем неподвижную систему координат O , связанную с
основанием 4 и подвижную систему координат Oxyz, связанную с внутренней
рамкой 2. Ось Ox направим по оси внутренней рамки карданова подвеса, ось
Oz – по оси ротора гироскопа, ось Oy – перпендикулярно первым двум так,
чтобы трехгранник Oxyz был правым. Пусть в начале движения совпадают
оси системы координат Oxyz с осями O .
Для определения положения гироскопа относительно неподвижной
системы координат O удобно использовать углы Резаля , ,  . Углы
Резаля задаются следующим образом:
 - угол поворота наружной рамки 3 карданова подвеса вокруг оси O
(Oy1), отсчитываемый в плоскости O против хода часов от оси O до
проекции Ozo оси Oz на плоскость O;
 - угол поворота внутренней рамки 2 вокруг ее оси Ox,
отсчитываемый от оси Ozo до оси Oz по ходу часов;
 - угол поворота ротора 1 гироскопа относительно внутренней рамки
2 карданова подвеса вкруг оси Oz.
Таким образом, ориентация оси Oz ротора гироскопа относительно
основания определяется углами ,  . Вектор угловой скорости  направлен
в положительном направлении оси O , а вектор угловой скорости 
направлен в отрицательном направлении оси Ox, вектор  угловой скорости
направлен в положительном направлении оси Oz.
Будем рассматривать движение гироскопа, имеющего неподвижную
точку О, а карданов подвес будем рассматривать как физическую реализацию
неподвижной точки. Примем, что рамки карданова подвеса являются
невесомыми и, что в шарикоподшипниковых опорах ротора и рамок не
возникает моментов сил трения и вязкого сопротивления.
Для вывода уравнений движения гироскопа воспользуемся
уравнениями Лагранжа II рода, используя в качестве обобщённых координат
углы Резаля , , 
d  T  T
d T  T
d T  T

 

 


 Q ,
 Q ,
 Q ,
dt      
dt      
dt      
где T – кинетическая энергия гироскопа,
Q  , Q , Q  – обобщённые силы.
19
(1)
Запишем вектор угловой скорости ротора в проекциях x , y , z на оси
Oxyz
 x    ,
 y   cos,
z     sin .
(2)
Моменты инерции ротора относительно осей Ox, Oy, Oz обозначим
I x , I y , I z . Для гироскопа ось Oz является осью динамической симметрии,
следовательно I x  I y , а эллипсоид инерции для неподвижной точки О
является эллипсоидом вращения.
Кинетическая энергия гироскопа T имеет вид
T  1 I x  2  1 I y ( cos) 2  1 I z (   sin ) 2 ,
(3)
2
2
2
Обобщенные силы имеют вид
(4)
Q   М у1 , Q   M x , Q   M z .
Вначале составим дифференциальное уравнение движения гироскопа
вокруг оси Оz (по координате  )
T
T
 I z (   sin ),
 0,
 

d  T 
  
 sin     cos),

  I z (
dt    
и с учетом (4) получаем:
  
 sin     cos)  M z .
I z (
(5)
В гироскопических приборах угловая скорость вращения ротора
поддерживается постоянной при условии, что вращающий момент двигателя
уравновешивает момент сил сопротивления вращению. Для данной
лабораторной установки примем, что за короткое время проведения
эксперимента (2-3 минуты), угловая скорость вращения ротора постоянна,
т.е.
M z  0,
тогда выражение (5) принимает форму:
  
 sin     cos  0.
0
(6)
Cоставим дифференциальное уравнение движения гироскопа вокруг
оси Оy1 (по координате α).
20
T
 I x  cos2   I z  sin 2   I z  sin ,
 
T
 0,

d  T 
 cos2   2 I x   cos sin   I z 
 sin 2   2 I z   cos sin  

  I x 
dt    
 sin   I   cos,
I 
z
z
и уравнение движения гироскопа вокруг оси Оy1 (по координате α)
получаем в следующем виде
 cos2   2 I x   cos sin   I z   cos sin   I z   cos 
Ix 
(7)
 sin     cos  
) I sin   М .
 (
у1
z
Учитывая выражение (6), уравнение движения гироскопа вокруг оси
Оy1 (по координате α) упрощается
 cos2   (2 I x  I z ) 
  cos sin   I z 
  cos  М у1 .
(8)
Ix 
Cоставим уравнение движения гироскопа вокруг оси Оx (по координате
β).
T
  I x  2 cos sin   I z (   sin )  cos,

T
d T 
,

  Ix 
 I x  ,
dt    
 
и для уравнения движения гироскопа вокруг оси Оx (по координате β)
получаем соотношение
  (I  I )  2 cos sin   I   cos   M .
(9)
Ix 
x
z
z
x
Окончательно для уравнений движения гироскопа
соотношения:
 cos2   (2 I x  I z )   cos sin   I z   cos  М у1 ,
Ix 
  (I  I )  2 cos sin   I   cos   M .
I 
x
x
z
z
получаем
(10)
x
При помощи данных уравнений можно проводить математическое
моделирование движения трёхстепенного гироскопа.
В дифференциальных уравнениях движения (10) быстровращающегося
гироскопа угловые скорости  и  , также угол  в процессе движения
гироскопа остаются малыми. Поэтому в уравнениях (10) малыми членами
 2 cos sin  , содержащими произведения
(2 I x  I z )   cos sin  и (I x  I z ) 
малых величин  ,  и sin  , можно пренебречь, а также считать, что
cos 1 .
В этом случае приближенные уравнения движения гироскопа
принимают вид
21
  I z    М у1 ,
Ix 
(11)
  I     M .
Ix 
z
x
В данной лабораторной установке по осям вращения рамок карданова
подвеса действуют демпфирующие моменты М ду 1 , M дx , которые приводят к
быстрому затуханию нутационных колебаний, и движение гироскопа
описывается
прецессионными
уравнениями,
используемыми
в
приближённой теории гироскопов
I z    М у1 ,
(12)
I z    M x .
Обозначим кинетический момент гироскопа K z  I z  , тогда
М у1
Mx
(13)
,
 
.
Kz
Kz
Уравнения (13) позволяют сформулировать правило прецессии:
При действии на гироскоп момента внешних сил M x вокруг оси Ox,
гироскоп прецессирует вокруг оси Oy с угловой скоростью  . При действии
на гироскоп момента внешних сил M y1 вокруг оси Oy1, гироскоп
прецессирует вокруг оси Ox с угловой скоростью  .
Скорость прецессии  ( ) прямо пропорциональна моменту внешних
 
сил M x (М у1 ) и обратно пропорциональна кинетическому моменту K z .
Под действием момента внешних сил M x (М у1 ) , направление скорости
прецессии таково, что при движении гироскоп стремиться совместить вектор
кинетического момента K с вектором M x ( М у1 ) по кратчайшему пути.
Проведение эксперимента
1. Разарретируйте гироскоп, установите перпендикулярно рамки
карданова подвеса и удерживая рамки, запустите при помощи разгонной
машинки. Ось Oz ротора гироскопа должна сохранять неизменным своё
положение в неподвижной системе координат. Убедитесь в отсутствии
прецессии гироскопа.
Покачайте основание гироскопа, имитируя движение (качку)
основания. Ось Oz ротора гироскопа также должна сохранять неизменным
своё положение в неподвижной системе координат.
2. Установите грузик на внутреннюю рамку карданова подвеса у оси
ротора. Установите перпендикулярно рамки карданова подвеса и удерживая
рамки, запустите при помощи разгонной машинки. Запомните частоту
вращения разгонной машинки, показанную на табло частотомера.
Отпустите гироскоп. Гироскоп начнет прецессировать. Подсчитайте
количество полных оборотов за 2-3 минуты. Запишите результаты.
3. Рассчитайте угловую скорость прецессии в обоих случаях.
22
Рис 5.2. Схема проведения эксперимента.
Параметры установки
-масса грузика, m = 0,060 кг,
- момент инерции ротора относительно оси Oz, Iz = 2,858∙10-3 кг∙м2,
- расстояние от неподвижной точки О до точки крепления груза, l = 0,077 м,
- радиус дорожки, по которой вращается колесо разгонной машинки,
(средний), R = 0,053 м,
- радиус колеса разгонной машинки, r = 0,040 м,
- частота вращения колеса разгонной машинки, n = 2500 – 2700 об/мин,
- угловая скорость вращения ротора гироскопа Ω рассчитывается по формуле
2 r
   n ,
60 R
mgl
 рассчитывается по формуле  
- угловая скорость прецессии 
,
Iz 
60
.
- частота прецессии ν рассчитывается по формуле    
2
Проделайте расчет частоты прецесси ν для эксперимента и сравните с
наблюдаемым результатом.
23
6. Прибор
ТМд-06м
для
демонстрации
кориолисовой
силы
инерции.
Название дано по списку комплекта приборов, моделей и установок. В
дальнейшем будем называть этот прибор установкой, так как это больше
соответствует действительности. Установка состоит из неподвижной стойки
1 (полый цилиндр), вращающейся вокруг оси Oz платформы 2, на которой
укреплены две пластинчатые пружины 3 и указатели 4 (6.1).
z
1
3
h
5
2
O
4
Рис. 6.1. Схема установки
Материальная точка выполнена в виде шара (из стали и алюминиевого
сплава) и движется прямолинейно по платформе, в то время как платформа
вращается вокруг оси Oz. В математической модели данного механического
явления будем считать, шар материальной точкой.
На установке проводится эксперимент. Материальная точка (шар) опускается
в трубку и падает с высоты h. Трубка сопрягается со скруглением, на которое
падает шар и без удара катится по скруглению и по прямой на платформе 2
(между пружинами). Будем считать, что платформа во время эксперимента
вращается с постоянной угловой скоростью ω.
Целью эксперимента является демонстрация наличия кориолисовой силы
инерции.
Теоретическая часть
Падение точки с высоты h без начальной скорости опишем с помощью
теоремы об изменении кинетической энергии
T  T0  Amg  , где T0  0 .
24
mv 2
Кинетическая энергия при падении внизу трубки T 
 mgh (работа
2
силы тяжести). Отсюда получим v  2 gh . Эта скорость является начальной
для движения точки по платформе.
Точка M совершает сложное движение. Свяжем подвижную систему
координат с платформой, тогда движение (прямолинейное) по платформе –
относительное движение точки M (шара).
Z
Y
M
v0
O'
X
Y
X


Z
mg
aK
N
N1
O'
vr en
K
O
а
X
mg
б
Рис. 6.2. Расчетная схема
Схема задачи изображена на рис. 6.2. Точка совершает относительное
прямолинейное движение с начальной скоростью v ( v0  v ). Трением при
движении точки по платформе пренебрежем. Уравнение движения точки M
имеет вид mar  mg  N  N1   en   K . В проекции на ось X получим
mX  m2 X (Здесь  n  m2 X ). Начальные условия: при t  0 X  0 ,
e
X  v0  v . Интегрируем уравнение
XdX  2 XdX ,
получим
X 2  2 X 2  C ,
откуда C  v 2 . Окончательно X  v 2  2 X 2  vr – относительная скорость
точки.
Еще два уравнения для точки M имеют вид
mary  0  N1   KY , ma rz  0  N  mg .
25
Здесь  K  2me  vr  , e   , а  KY  2me vr . Таким образом,
N1  2me vr , N  mg .
Эксперимент, расчеты, сравнение данных.
В эксперименте материальная точка M движется прямолинейно вдоль
платформы, которая вращается вокруг оси Oz с постоянной угловой
скоростью. Точка, проходя вдоль пластинчатых пружин, приводит к
отклонению их от первоначального прямолинейного состояния. На бортике
на платформе укреплены указатели, которые отклоняются пружинами до
определенного положения в момент, когда точка M (шарик) покидает
платформу.
По отклонению указателей судят о величине упругой силы пружин. В данном
случае – это сила N1 , где N1  c , с, λ – жесткость и деформация
пластинчатых пружин.
Замечание. Уравнение для определения N1 было составлено при
предположении, что пружина не деформирована. Однако, ошибка этого
выражения не очень велика.
В формуле c  2me vr величины определяются следующим образом.
Определяем массу точки m  64,5 г. С помощью секундомера определяем
угловую скорость платформы (угловую скорость переносного вращения).
Рассчитываем относительную скорость точки M при X  L  245 мм. Кроме
того, v0  v  2 gh , h  0,5 м, v  3,13 м/с. При различных значениях ω
рассчитываем значение относительной скорости, а затем правую часть
формулы – величину кориолисовой силы инерции.
Определяем значение жесткости c пластинчатой пружины при
деформировании полной её длины. Для этого проведем тарировку
пластинчатой пружины по прогибу на конце пружины. Тарировку пружины
проводят при помощи мерных грузов.
Замечание. Для пластинчатых пружин жесткость зависит от длины
деформируемого участка пружины.
В эксперименте определяем деформацию пружины по отклонению
указателей и при известной жесткости, для конца пружины определяем силу
упругости экспериментально. Далее сравниваем рассчитанную величину
кориолисовой силы инерции с экспериментальным значением силы
упругости пружины.
26
P N1  ,г
20
15
10
5
0
10
20
30
мм
40
Рис. 6.3. Определение жесткости пружины
На рис. 6.3 построена зависимость упругой силы пружины от деформации на
конце пластинчатой пружины. Жесткость пружины, определенная по рис.
6.3, равна c  0,571 г/мм, c  5,6 Н/м. Результаты экспериментов и расчетов
приведены в таблице 1 ниже.
Таблица 6.1. Результаты эксперимента
t, с
(5 оборотов)
5,8
7,0
7,5
8,0
Отклонение
стрелки, мм
35,5
30
30,5
28
ω,
рад/с
5,42
4,49
4,19
3,93
vr ,
м/с
3,4
3,32
3,3
3,28
ФК,
Н
2,38
1,92
1,78
1,66
N1, Н
1,99
1,7
1,71
1,568
в
среднем
27
Относительная
ошибка, %
16
11
4
5,5
9
7. Маятник с пружинами. ТМд-07м
Описание модели.
Модель предназначена для демонстрации свойств оснащенного
пружинами физического маятника и может быть применена также для
исследования основных его характеристик: изучение зависимости периода
колебаний от момента инерции при различных расположениях частей
маятника и от его обобщенного коэффициента жесткости, исследование
устойчивости при расположении центра масс выше оси подвеса. Общий вид
модели приведен на
Рис. 7.1 Общий вид маятника
Модель состоит из вертикальной стойки 1 и установленного в ее
подшипниковой опоре 2 стойки физического маятника, представляющего
собой стержень 3, на котором установлены груз 4 в виде диска и втулка 5
крепления двух одинаковых пружин 6, другие концы которых посредством
натяжных винтов закреплены на кронштейне 7 стойки. Груз 4 и втулка 5
могут переустанавливаться на стержне 3 в различные положения, а
кронштейн 7 перемещаться по стойке 1 в соответствии с изменением
положения втулки 5. Кроме того, стойка вместе с закрепленным на ней
маятником, может устанавливаться в основании 8 модели одним или другим
своим концом, при этом центр масс маятника будет располагаться либо ниже
28
(как показано на рис. 7.1), либо выше опоры 2. Причем, в первом случае
пружины могут быть отсоединены от втулки 5. Все это позволяет получать с
помощью данной модели различные варианты физического маятника,
отличающиеся величинами момента инерции, положениями точек
присоединения пружин и центра масс относительно опоры.
Перед проведением демонстрации колебаний маятника или
исследованием его характеристик стойка 1 должна быть установлена в
вертикальном положении. Для этого основание 8 снабжено регулируемыми
опорами 9, а на стойке закреплен указатель 10. Вертикальность положения
стойки и, соответственно, маятника, достигается при совмещении
заостренного конца стержня 3 с риской, нанесенной на указателе, при
отсоединенных от стержня ружинах 6.
При транспортировке модели груз 4 и, следовательно, стержень 3
фиксируются на стойке с помощью винта 11. Фиксация диска 4 и втулки 5 на
стержне 3 осуществляется посредством винтов 12.
Дифференциальные уравнения движения физического маятника
Схемы различных вариантов маятника и действующих на него сил показаны
на рис. 7.2: с верхним расположением оси подвеса и присоединенными
пружинами (рис. 7.2а), с верхним расположением оси подвеса и
отсоединенными пружинами (рис. 7.2б, здесь силы тяжести всех частей
маятника приведены к равнодействующей силе P  Mg ) и с нижним
расположением оси подвеса (рис. 7.2в).
На приведенных схемах представлены следующие силы, действующие
на маятник:
- P1 - вес груза 4 (см. рис. 7.1);
- P2 - вес втулки 5;
- P3 - вес стержня 3;
- P  P1  P2  P3 - вес всего маятника;
- F1 и F2 - силы натяжения пружин;
- M c - момент сил сопротивления в шарнире О;
- X o и Y0 - силы реакции, возникающие в опоре 2.
29
Рис. 7.2. Схемы трех вариантов маятника.
Пренебрегая вертикальным смещением точки c 5 , для модулей сил
упругой деформации пружин имеем:
F1  F0  c п l 2 sin , F2  F0  c п l 2 sin ,
где F0 - сила предварительного натяжения пружин, обеспечивающая в
процессе колебаний их работу только на растяжение.
Составим дифференциальные уравнения вращательного движения
вокруг оси Oz для трех вариантов маятника:
   M 0 ( Fk )  M c ,
J
k
где J - момент инерции маятника относительно оси Oz,
 M 0 ( Fk )
- сумма
k
моментов действующих сил относительно оси Oz , равная для первого
варианта маятника (см.рис. 7.2а):
 M 0 ( Fk )   P1l1 sin   P2 l2 sin   P3l3 sin   F2 l2 cos  F1l2 cos,
k
для второго варианта (рис. 2б):
 M 0 ( Fk )  ( P1l1  P2 l 2  P3 l 3 ) sin ,
k
и для третьего варианта:
 M 0 ( Fk )  ( P1l1  P2 l2  P3l3 ) sin   F2 l2 cos   F1l2 cos ,
k
где l1 , l 2 и l 3 - расстояния от центра опоры (точки О) до центров масс
груза, втулки и стержня, соответственно.
Полагая, что изменения угла  достаточно малы, т.е. принимая sin   
и cos   1, а также пренебрегая сопротивлением в шарнире О, получим
дифференциальное уравнение движения в виде
30
  c  0,
a
где a - обобщенный коэффициент инерции механической системы, равный в
данном случае моменту инерции J oz маятника относительно оси подвеса;
с – обобщенный коэффициент жесткости системы, определяемый
соотношениями:
- для первого варианта маятника
с (1)  (2с п l 22  P1l1  P2 l 2  P3l3 ),
(2)
- для второго варианта
с ( 2)  ( P1l1  P2 l 2  P3l3 ),
(3)
- и для третьего варианта
с (3)  (2с п l 22  P1l1  P2 l 2  P3l3 ).
(4)
Представляя дифференциальное уравнение (1) в форме
   2   0,

где   c / a, и принимая, что в начальный момент времени (t  0) стержень
маятника отклонен от положения равновесия на угол (0)   0 и отпущен без
начальной скорости, т.е.  (0)  0 , решение полученных дифференциальных
уравнений получим в виде:
   0 cos t ,
где   2 / T - частота собственных колебаний маятника; T - период
колебаний.
В первом варианте период колебаний маятника определяется
соотношением:
T (1)  2 J / g (m1l1  m 2 l 2  m3 l 3 )  2c п l 22  2 J /( Mgl  2c п l 22 ) ,
а во втором варианте:
(5)
T ( 2)  2 J /g (m1l1  m2 l 2  m3l3 )  2 J /( Mgl) ,
где m1 , m 2 и m 3 - массы груза 4 (см.рис.7.1) втулки 5 и стержня 3,
M  m1  m 2  m3 - масса всего маятника,
l  (m1l1  m 2 l 2  m3 l 3 ) / M - расстояние от центра опоры 2 до центра
масс всего маятника.
При нижнем положении опоры период колебаний может быть определен
по формуле:
T (3)  2 J / 2c п l 22  g (m1l1  m 2 l 2  m3 l 3 )  2 J / 2c п l 22  Mgl
(6)
Следует отметить, что в этом случае колебательное движение маятника
возможно при выполнении условия:
2c п l 22  Mgl ,
т.е. когда его потенциальная энергия имеет минимум в положении
равновесия, а это необходимо согласно теореме Лагранжа-Дирихле для
устойчивости равновесия.
Момент инерции маятника можно определить расчетным путем, считая
груз и втулку точечными грузами:




31


(7)
J расч.  J 1  J 2  J 3  m1l12  m2 l 22  m3 (2l 3 ) 2 / 3.
где J 1 , J 2 и J 3 - моменты инерции груза, втулки и стержня.
При достаточно большом расстоянии груза 4 и втулки 5 от точки О это
допущение не приводит к существенным погрешностям. Например, в данном
маятнике при максимальной длине l1 положения груза на стержне
погрешность в определении его момента инерции не превышает 0,5%. При
малых величинах расстояний l1 и l 2 от точки О их моменты инерции могут
быть рассчитаны более точно с помощью теоремы Штейнера. В частности,
для груза более точное соотношение для его момента инерции имеет вид:
J 1  m1l12  m1 d 2 / 8,
где d - диаметр груза (см. рис. 7.2).
Массы отдельных частей маятника могут быть определены путем их
взвешивания или расчетным методом по измеренным их размерам. Для
данного маятника получены следующие значения масс его частей (с учетом
масс винтов крепления):
m1  0,5075 кг , m 2  0,1430 кг , m3  0,082 кг .
Для определения коэффициентов жесткости пружин проводится их
тарировка, заключающаяся в подвешивании к вертикально закрепленным
пружинам грузов и измерении соответствующих удлинений 8 пружин.
Коэффициент жесткости определяется как отношение веса груза к
деформации пружины:
сп  Pг / s [н/м].
По результатам измерений строится зависимость s  s(mg) , по которой
оценивается линейность деформации от нагрузки и, следовательно,
линейность упругой силы пружины от ее деформации и уточняется
осредненное значение с п пружин маятника. Результаты тарировки двух
пружин данной модели представлены на рис. 7.3, по которому видно, что
деформации обеих пружин практически одинаковы при равных нагрузках и
линейно зависят от них. Осредненный коэффициент с п жесткости пружин,
определяемый как тангенс угла наклона построенной зависимости, равен в
данном случае 78,29 н/м.
32
Рис. 7.3. Определение жесткости пружин маятника.
Момент инерции маятника можно определить не только расчетным
путем, в частности, по формуле (7), но и по результатам испытаний с
использованным для каждого из трех указанных выше вариантов маятника
(см.рис. 7.2) соотношений:
2

2

J э(1)
 Tэ(1) 
 Tэ(1) 
2


 (2cп l 22  Mgl),

2сп l 2  g (m1l1  m2 l 2  m3l3 )  


 2 
 2 
J э( 2 )
 Tэ( 2 ) 
 Tэ( 2 ) 





 g (m1l1  m2 l 2  m3l3 )   2  Mgl,
2





2
2
2

(8)
2

 Tэ( 3) 
 Tэ( 3) 
2


 (2cп l 22  Mgl),

2сп l 2  g (m1l1  m2 l 2  m3l3 )  


 2 
 2 
где Tэ(1) , Tэ( 2 ) , Tэ( 3) - измеренные периоды колебаний в первом, втором и
третьем вариантах маятника.
Следует отметить также, что, используя результаты измерений периодов
колебаний маятника при присоединенных и отсоединенных пружинах
можно, используя соотношения (4) и (5), вычислить значения осредненного
коэффициента жесткости пружин следующим образом:
J э( 3)
сп
T   T 

T  2l
( 2) 2
э
(1) 2
э
(1) 2
э
2
2
m1l1  m2 l2
T   T 
 m l g 
T  2l
( 2) 2
э
3 3
(1) 2
э
(1) 2
э
2
2
Mgl,
(9)
Кроме того, для третьего варианта маятника (при расположении его
центра масс выше оси подвеса) по данным измерений можно найти
критическое значение расстояния от точки крепления пружин до оси подвеса
33
- l2 кр , при котором обобщенный коэффициент жесткости системы становится
равным нулю и маятник теряет устойчивость, используя соотношение (4):
2сп l22кр  g (m1l1  m2 l2  m3l3 )  0,
откуда для l2 кр получаем формулу:


l2 кр  m2  m22  8cn ( M 1l1  m3l3 ) / g g / 4cп .
Проведение экспериментов и обработка полученных результатов.
Перед
проведением
экспериментов
необходимо
обеспечить
вертикальное положение стойки 1 (см. рис. 7.1). Для этого следует
установить стойку в основание 8 при верхнем расположении оси подвеса
маятника (опоры 2), отсоединить от втулки 5 пружины 6, освободить
фиксатор 11 маятника и, регулируя высоту опор 9, совместить заостренный
конец стержня 3 с риской на указателе 10.
В случае применения данной модели как демонстрационной, можно
показать:
1)
как изменяется период колебаний физического маятника при
присоединении или отсоединении пружин от втулки 5 (рис. 7.1);
2)
как изменяется период колебаний физического маятника с осью
подвеса, расположенной выше его центра масс (рис. 2а и б) в результате
перемещения груза 4 по стержню 1 при фиксированном положении втулки 5
на стержне, а также при изменении положения втулки 5 и кронштейна 7
относительно оси подвеса при неизменном положении груза относительно
стержня (период колебаний увеличивается по мере смещения груза от оси
подвеса и втулки с кронштейном в направлении этой оси);
3)
как изменяется период колебаний маятника с осью подвеса,
расположенной ниже центра масс (рис. 7.2в) при перемещениях груза и
втулки относительно оси подвеса (период колебаний возрастает со
смещением груза от оси подвеса и втулки к этой оси);
4)
потерю устойчивости этого маятника (рис. 7.2в) по мере
смещения втулки и кронштейна к оси подвеса.
Данная модель может быть использована также и для проведения
лабораторной работы по исследованию характеристик физического
маятника. В этом случае рекомендуется, например, следующий порядок
действий.
Сначала, как описано выше, проводятся тарировки пружин и
определяются их коэффициенты жесткости, а также путем взвешивания или
расчетным методом находятся массы всех частей маятника. Эта часть работы
может быть проведена предварительно.
Затем маятник собирается на стойке 1 (см.рис. 7.1) и сама стойка
устанавливается на основании 8 в положении, когда ось подвеса маятника
располагается выше его центра масс. Фиксируются в выбранных положениях
груз 4 и втулка 5 на стержне 3, кронштейн закрепляется в соответствующем
34
месте стойки, а концы пружин закрепляются в кронштейне и втулке.
Сообщается маятнику начальное возмущение путем его отклонения на
небольшой угол от положения равновесия, регистрируется время t числа N
полных колебаний и определяется период колебаний как
Tэ(1)  t / N
Измерения t повторяются при отсоединенных от маятника пружинах.
После этого втулка и кронштейн последовательно переустанавливаются
на различных расстояниях от оси подвеса и проводятся измерения периодов
колебаний Т э(1) и Tэ( 2 ) при присоединенных и отсоединенных пружин.
На последнем этапе испытаний стойка переустанавливается в основании
другим своим концом, при этом ось подвеса оказывается в положении ниже
центра масс маятника. В этом положении все измерения повторяются при
присоединенных пружинах и последовательном смещении точек их
крепления к оси подвеса, т.е. при уменьшении расстояния l 2 (см. рис. 7.2в)
до достижения критического значения последнего – до потери устойчивости
маятника в положении равновесия.
Результаты испытаний обрабатываются, т.е. по соотношениям (8)
определяются значения моментов инерции, которые сравниваются с
расчетными их величинами, полученными, например, по формуле (4); по
соотношениям (9) и (10) рассчитываются соответственно, осредненный
коэффициент жесткости - с п пружин и l2 кр , которые сопоставляются с ранее
найденными по тарировкам пружин и при проведении экспериментов. По
полученным данным составляется таблица исследованных характеристик и
строятся графики их изменений в зависимости, например, от расстояния l 2 от
оси подвеса маятника до точки крепления пружин.
Такие испытания позволяют, в частности, оценить зависимость периода
колебаний данного маятника от обобщенного коэффициента жесткости.
После этого эксперименты можно повторить при другом закреплении
груза на стержне при другом расстоянии от центра груза до оси подвеса), т.е.
при другом значении момента инерции J маятника.
Кроме того, описанные выше испытания могут быть выполнены и при
другом порядке действий. Например, можно при фиксированном расстоянии
l 2 последовательно изменять положение груза на стержне и исследовать
изменение периода колебаний маятника в зависимости от момента инерции.
По приведенной методике выполнены экспериментальные исследования
характеристик маятника данной модели при расположении груза в
положении, наиболее удаленном от оси подвеса, т.е. при значении
расстояния l1 (см.рис. 7.2), равном 0,503 м. Результаты этих экспериментов
приведены в таблице 7.1 и на рис. 7.4 и 7.5.
35
Таблица 7.1. Экспериментальные данные по исследованию
характеристик физического маятника с пружинами
№
№
варианта эксперим
ента
1
2
1
3
4
5
6
2
7
8
9
10
3
11
12
13
l2 ,
м
0,449
0,349
0,249
0,149
0,449
0,349
0,249
0,149
0,449
0,349
0,249
0,199
0,179
J расч.
м2
0,1618
0,1504
0,1419
0,1362
0,1618
0,1504
0,1419
0,1362
0,1618
0,1504
0,1419
0,1389
0,1376
Tэ ,
с
0,427
0,517
0,667
0,927
1,391
1,370
1,360
1,350
0,473
0,607
0,923
1,285
1,615
Jэ
кгм2
0,1607
0,1503
0,1430
0,1378
0,1617
0,1501
0,1414
0,1330
0,1600
0,1480
0,1435
0,1347
0,1367
С пэ
н/м
78,82
78,31
77,17
73,15
-
Рис. 7.4. Зависимость момента инерции от положения точки
крепления пружин
36
Рис. 7.5. Изменения периода колебаний в зависимости от положения
точки присоединения пружин.
Сопоставляя полученные данные, можно отметить следующее.
Экспериментальные значения моментов инерции, полученные при
исследовании колебательных движений маятника, достаточно хорошо
согласуются с их расчетными величинами.
Период колебаний маятника с верхним расположением опоры и с
отсоединенными пружинами и, соответственно, его момента инерции, слабо
зависят от положения втулки 5 (рис.7.1) на стержне 3, вследствие
относительной малости ее массы. С уменьшением расстояния l 2 период
колебаний маятника с пружинами стремится к его значению в отсутствие
пружин.
Осредненные величины коэффициентов жесткости пружин также
удовлетворительно согласуются с данными их тарировок. Полученное по
соотношению (10) критическое значение l2 кр , соответствующее потере
устойчивости маятника с нижним расположением опоры, равное в данном
случае 0,135 м, хорошо согласуется с экспериментально определяемой его
величиной. При этом экспериментальное значение l2 кр несколько превышает
расчетное из-за наличия сил трения покоя в опоре маятника, поскольку по
мере приближения l 2 к l2 кр сил натяжения пружин оказывается
недостаточно, чтобы вернуть маятник в положение равновесия
37
8. Прибор «Физический маятник». ТМд-08м
Описание устройства и работы модели
Модель предназначена для демонстрации основных свойств
физического и математического маятников и позволяет также проводить
экспериментальные исследования некоторых их характеристик.
Конструкция модели показана на рис. 8.1. Модель состоит из
установленных на вертикальной стойке 1 физического 2 и математического 3
маятников, оси подвеса которых (оси колебаний) совмещены. Стойка, в свою
очередь, закреплена в основании 4 модели, которая для регулирования
вертикальности положения стойки снабжена регулируемыми опорами 5 и
уровнем 6.
Рис. 8.1. Общий вид модели.
Физический маятник представляет собой симметричную пластину с
закругленными по окружности торцами и двумя отверстиями 7 и 8, в
которых установлены с возможностью перемещения вдоль оси симметрии
пластины опорные призмы 9 и 10. Маятник может быть установлен на
клиновой опоре 11 либо призмой 9, либо призмой 10 и, соответственно будет
иметь разные моменты инерции относительно оси подвеса, совпадающей с
верхним ребром клиновой опоры.
Математический маятник выполнен в виде металлического шара 3,
подвешенного на сдвоенной нити 12 с целью обеспечения колебаний
математического маятника только в плоскости, параллельной плоскости
движения физического маятника. Для изменения длины l нити устройство 13
38
крепления математического маятника на стойке снабжено узлом 14 со
смещенной в поперечном направлении осью наматывания нити. Такое
смещение указанной оси обеспечивает при изменении l совмещение осей
подвеса обоих маятников.
Кроме того, для обеспечения одновременного начала колебаний
маятников на основании модели установлено пусковое устройство 15,
включающее подпружиненную пластину 16 с фиксатором ее поднятого
положения. В этом состоянии пластины математический и физический
маятники в отклоненном от вертикали положении опираются на пластину.
Для этого физический маятник снабжен опорными штифтами 17. После
освобождения фиксатора пластина резко опускается на основание 4 и оба
маятника одновременно приходят в колебательное движение относительно
положения равновесия.
Геометрические параметры физического маятника приведены на рис. 2
для среднего положения призм 1 и 2 в отверстиях 3 и 4. В случае
наибольшего удаления призмы 1 от центра масс (точка С) маятника
последний будет иметь наибольшее из возможных значение момента
инерции, а при смещении призмы 2 в наиболее близкое к центру масс
положение значение момента инерции маятника будет минимальным.
Массы физического М и математического m маятников равны 0,882 кг и
0,036 кг, соответственно.
Рис. 8.2. Геометрические параметры физического маятника.
Дифференциальные уравнения движения маятников.
Схемы маятников и действующих на них сил приведены на рис. 8.3, где
рис. 8.3а и 8.3б соответствуют физическому маятнику в двух различных
вариантах его установки на клиновой опоре стойки – с наибольшим (при
a  l1 max .  0,19 м) и наименьшим (при a  l 2 min  0,059 м) моментами
инерции, а рис. 8.3в – соответствует математическому маятнику.
39
Рис. 8.3. Схемы маятников.
Дифференциальное уравнение движения маятников относительно оси
подвеса Oz имеет следующий вид:
   Pa sin   M c ,
J oz 
где J oz - момент инерции маятника относительно оси Oz ;
J oz  ml 2 - для математического маятника;
P  Mg - сила тяжести маятника;
- его масса;
M
a - расстояние от оси подвеса до центра тяжести маятника;
a  l - для математического маятника;
a  l1 -для физического маятника в первом варианте (рис. 8.3а);
a  l 2 -для физического маятника во втором варианте (рис. 8.3б);
M c - момент сил сопротивления в оси подвеса маятника.
Пренебрегая моментом сопротивления в силу его незначительности для
малых углов отклонения маятников от положения равновесия, т.е. принимая
sin   , получим следующее дифференциальное уравнение:
   2   0,
(1)

где-   Mga / J oz - для физического маятника,
(2)
- для математического маятника
(3)
 g /l
Решение уравнения (1) при начальных условиях (при t  0)  (0)   0 и
 (0)  0 имеет вид:
   0 cos t ,
где  - частота собственных колебаний маятника связана с периодом Т
колебаний соотношением
  2 / T .
(4)
40
Момент инерции физического маятника, в соответствии с формулами (2)
и (4), можно определить по измеренному значению периода колебаний
следующим образом:
2
T 
(5)
J oz    Mga.
 2 
По найденному значению J oz можно вычислить приведенную длину
физического маятника, т.е. длину такого математического маятника, период
колебаний которого равен периоду колебаний данного физического
маятника. Приравнивая периоды колебаний обоих маятников, т.е.
приравнивая частоты их колебаний, из соотношений (2) и (3) получаем
формулу для определения приведенной длины:
l пр  J oz /(Ma),
или с учетом формулы (5):
l пр  T 2 g /( 4 2 ).
Точка O1 , находящаяся на расстоянии l пр от оси Oz подвеса маятника
(см. рис. 8.4), называется центром качаний. Согласно теореме Гюйгенса при
переносе оси колебаний из точки О в точку O1 период колебаний
физического маятника не изменяется.
Рис. 8.4. Схема маятника при расстоянии между осями подвеса,
равном его приведенной длине.
41
Порядок демонстрации свойств
исследования его характеристик.
физического
маятника
и
Перед демонстрацией свойств физического маятника или исследования
его характеристик следует установить его основание 4 (см рис. 8.1) в
горизонтальное положение по уровню 6.
Во время демонстрации рекомендуется действовать, например, в
следующей последовательности.
1.Установить физический маятник одной из его опорных призм (9 или
10) на клиновой опоре 11, отклонить маятник от положения равновесия на
небольшой угол  0 , отпустить его без начальной скорости ( 0  0) и
зарегистрировать время t , затрачиваемое на N  е число полных колебаний
(например при N  20).
2.Переустановить физический маятник на клиновую опору другой его
призмой и повторить замер времени того же числа N полных колебаний.
3.Сопоставить результаты измерений времени N колебаний в двух
положениях маятника или периодов колебаний, определяемых по
соотношению - T  t / N , и показать возрастание периода колебаний с
увеличением момента инерции маятника (момент инерции маятника больше
при установке его на опоре широкой частью в нижнем положении).
4.Для одного из положений физического маятника на опоре выставить
математический маятник посредством узла 14 на длину, равную
соответствующей приведенной длине физического маятника - l пр . Затем
поднять от основания пластину 16, зафиксировать ее в поднятом положении
с помощью устройства 15 и поместить на пластине шар 3 математического
маятника и штифт 17 физического маятника. После этого освободить
фиксатор пластины и показать, что колебательные движения маятников в
этом случае происходят синхронно, т.е. с одинаковыми периодами
колебаний.
5.Установить опорные призмы маятника в положение, при котором
расстояние между их опорными поверхностями равно l пр , произвести
действия в соответствии с приведенными выше пп. 1) и 2) и показать, что в
этом случае периоды колебаний физического маятника в двух его
положениях на опоре одинаковы, т.е. подтверждается справедливость
теоремы Гюйгенса.
При проведении лабораторной работы с применением данной модели
можно провести испытания, например, в следующем порядке.
Выполнить измерения периодов колебаний физического маятника в двух
его положениях также, как это изложено выше в п. 1) и 2) для случая
демонстрационного применения данной модели и, используя измеренные
величины периодов колебаний, по соотношению (5) получить значения
моментов инерции для двух положений маятника на опоре.
42
Затем по формуле (6) определить приведенные длины l пр для каждого из
указанных положений маятника, установить длину математического
маятника, равной соответствующей длине l пр , и осуществить с помощью
устройства 15 с пластиной 16 одновременное движение обоих маятников тем
же способом, что и изложенный выше (в п. 3) для демонстрационного
применения данной модели.
После этого для какого-либо фиксированного относительно пластины
физического маятника положения одной из призм определить, как указано
выше, величину l пр , установить другую призму на этом расстоянии от первой
и произвести измерения периодов колебаний для двух положений маятника
на опоре – одной и другой призмами. Сравнить полученные значения
периодов колебаний.
По изложенной методике проведены испытания данной модели для двух
вариантов расположения опорных призм физического маятника: на
максимально и минимально возможном их расстоянии, равном l1  l 2 (см.
рис. 8.2) друг от друга. Результаты испытаний по этим двум вариантам
положения опорных призм приведены в таблице.
Таблица 8.1. Результаты экспериментального исследования свойств
физического маятника
l1  l 2
[м]
0,267
0,247
a
[м]
l1
l2
l1
l2
 0,196
 0,071
 0,188
 0,059
T
[c]
1,000
0,947
0,983
0,967
J
[кгм2]
0,0421
0,0140
0,0396
0,0120
l пр
[м]
0,250
0,223
0,240
0,232
Сопоставление данных, представленных в таблице, показывает, что в
данной модели обеспечить расстояние между осями колебаний, близкое к l пр
можно только при минимально возможном расстоянии между опорными
поверхностями призм.
43
9. Модель «Качение тел с разными моментами инерции». ТМд-09м
В комплекте учебно-демонстрационного оборудования по курсу
«Теоретическая механика», раздел «Динамика» – ТМд числится:
– Прибор “Качение тел с разными моментами инерции» ТМд-20.
Установка предназначена для изучения качения цилиндрических тел с
одинаковой массой и различными осевыми моментами инерции.
Описание движения цилиндрических тел
Цилиндрические твердые тела 1 и 2 (рис. 9.1,а) имеют примерно одинаковые
массы, но различные моменты инерции относительно продольных осей,
проходящих через центры масс тел. Движение тел осуществляется в три
этапа (рис. 9.1,б).
1
2
C(z)
a
I
II

L
K
III

E
C
1
R
L2
r


б
Рис. 9.1.Схема установки.
I этап. Составим уравнения движения тел на первом этапе движения по
наклонной плоскости с углом α к горизонту (рис. 9.2):
mxc  mg sin   F ,
myc  N  mg cos  ,
  Fr .
J cz 
44
(1)
Уравнения связи при качении без скольжения
xC  r ,
(2)
yC  r .
(3)
N
y

z
O
C
F
P
mg

x
Рис. 9.2. Движение тела по наклонной плоскости
Из (2) и (3) имеем:
 , yc  0 .
xc  r
Решая совместно уравнения (1) и (4), получим
mg sin   r 2
xc 
 A.
mr 2  J cz
(4)
(5)
Ускорения центров масс цилиндрических тел постоянны. Проинтегрировав
уравнение (5) при начальных условиях t  0 , xc  0 , x c  0 , имеем
At 2
x c  At , xC 
.
2
(6)
Из формулы (6) при заданном значении xс определим время движения центра
масс цилиндрического тела на расстояние xc:
(7)
t  2 xc / A
Из первой формулы (6) определим в этот момент времени t скорость центра
масс цилиндрического тела x c . Из выражения (5) видно, что ускорение
центра масс цилиндрического тела с меньшим значением момента инерции
Jcz больше при одинаковых массах тел и радиусах r. Из (6) и (7) найдем
(8)
xc  2 Axc .
45
Из (8) при xc, одинаковом для обоих тел, получим, что скорость центра масс
больше у того цилиндрического тела, у которого больше ускорение центра
масс, т.е. у тела с меньшим моментом инерции Jcz. Из формулы (7) видно, что
одни и те же участки тело с меньшим Jcz преодолевает быстрее. Этот факт
легко установить при эксперименте визуально.
Поскольку при эксперименте фиксируется время движения центров масс тел
(а не координата), проведем сравнение теоретических и экспериментальных
зависимостей скоростей центров масс тел от времени на первом этапе. Время
движения центра масс каждого тела на первом этапе определяется по
выражению (7), а зависимости x c t  рассчитываются по первой формуле (6).
В выражение (5) для ускорений центров масс цилиндрических тел входит α.
Угол α мал, и его значение точно определить трудно, что вносит погрешность
в расчеты скоростей центров масс тел. Поэтому будем сравнивать отношения
скоростей центров масс тел в одни и те же моменты времени, в которые sinα
не входит.
Отношение скоростей центров масс тел в одни и те же моменты времени
равно
xc1 A1 m1r12 m2 r22  J cz 2



.
(9)
xc 2 A2 m2 r22 m1r12  J cz1
При m1=m2=m и r1 =r2 =r получим
xc1 1  J cz 2 / mr 2

.
xc 2 1  J cz1 / mr 2
(10)
Изложенное выше справедливо, если качение цилиндрических тел
совершается без скольжения. Это условие выполняется при
F  fN .
(11)
Из второго уравнения (1) при условии (4) находим
N  mg cos
(12)
Из третьего уравнения (1) с учетом (4) и (5) имеем
J x
mg sin   J cz
F  cz2 c 
.
r
mr 2  J cz
(13)
Из (11) с учетом (12) и (13) получим
f 
J cz tg 
.
mr 2  J cz
Минимальное значение коэффициента трения скольжения f, при котором
обеспечивается качение тел без скольжения, равно
J tg 
f min  cz2
.
(14)
mr  J cz
46
Трение качения в данном эксперименте учитывать не будем ввиду его
слабого влияния на скорость центров масс тел при однократном движении.
z
Нить
C
Эталонный
цилиндр (тело)
Диск
Нить
Рис. 9. 3.Схенма установки крутильных колебаний.
Для проведения теоретических расчетов необходимо знать моменты инерции
Jcz цилиндрических тел, используемых в эксперименте. Для определения Jcz
применяют простейшую установку, на которой определяют периоды
крутильных колебаний тел (рис. 9.3).
Уравнение движения (вращения вокруг оси Сz) при малых θ
J cz   cкр .
Период крутильных колебаний системы тел равен
T  2 J cz / cкр .
(15)
Здесь cкр — жесткость нити, которую точно определить трудно. Поэтому
эксперимент проводят так, чтобы скр непосредственно не входила в формулу
для определения Jcz. Замеряя при помощи секундомера время десяти
свободных крутильных колебаний системы, найдем среднее значение
периода колебаний.
Замерим период колебаний диска Tд (см.
рис. 9. 3), а затем
период колебаний диска с эталонным цилиндром Tц.
Запишем на основании формулы (15)
47
2
J czд
T 
 cкр  д  ,
 2 
(16)
2
J czд

J czц
T 
 cкр  ц  .
 2 
(17)
Из формул (16), (17) определим Jczд — момент инерции диска относительно
оси Cz:
Tц2
д
ц
J cz  J cz 2
.
Tц  Tд2
Здесь
J czц

mц rц2
2
– момент инерции эталонного цилиндра относительно оси
Сz.
Для тел 1 и 2 запишем
2
J cz1 
J czд
T 
 cкр  1  ,
 2 
J cz 2 
J czд
T 
 cкр  2  .
 2 
2
Используя предыдущие формулы, для моментов инерции цилиндрических
тел относительно оси Cz получим:
2
2
ц T1  Tд
J cz1  J cz 2
,
Tц  Tд2
J cz 2 
J czц
T22  Tд2
Tц2  Tд2
.
II этап. Движение цилиндрического тела на втором – криволинейном участке
(рис. 9.4) описывается уравнениями.
mS   F  mg sin    ,
mS 2
 N  mg cos    ,
Rr
J cz    Fr ,

Vc  S  r  R  r 
  R  r 
 .
ac  S  r
48
(18)
(+)



n
K
s(t)
E

N
C
F
L
R

P
L
mg
Рис. 9.4. Схема движения тела на криволинейном участке.
Угол ψ изменяется в пределах 0       (рис. 9.4). Из системы уравнений
(18) получим:
mg sin    r 2
S 
mr 2  J cz
или
 .
S  B sin     R  r 
При начальных условиях t   t  t1  0 ,   0 ,    K решение имеет вид
2B
2 
 2K 
 cos   cos   .

Rr
2B
1  cos  .
Rr
2B
 2E  
 2K 
cos  cos   .
При      : 
Rr
 12  
 2K 
При    : 
Замечание. Значение R может быть определено по формуле R 
(см. рис. 9.4).
Кроме того,
Vc 
Vск 2  2BR  r cos    cos  ,
где Vcк – скорость центра масс в точке К.
49
L
, а L  R

III этап. Движение цилиндрического тела на третьем участке (рис. 9.5)
описывается уравнениями:
mxc   F  mg sin  ,
myc  N  mg cos  ,
(19)
  Fr ,
J cz 
yc  r , xc  r .
N

C
x
y
F
mg
P

z
O
Рис. 9.5. Схема движения тела на третьем участке.
 и из (19)
После дифференцирования получим yc  0 , xc  r
N  mg cos .
Начальные условия при t = t3, ( t   t  t3  0 ): xc= 0, xc  VcE  xcE .
Ускорение центра масс цилиндрического тела равно
mgr 2 sin 
xc  
 D .
mr 2  J cz
Интегрируя (20), получим
xc  xcE  Dt  t3  .
(20)
(21)
Из (21) для скоростей центров масс цилиндрических тел 1 и 2 получим
отношение при (t-t3)1= (t-t3)2:
xc  xcE 1 D1
,

xc  xcE 2 D2
D1 m1r12 m2 r22  J cz 2


,
D2 m2 r22 m1r12  J cz1
при r1=r2=r, m1=m2=m имеем:
50
(22)
D1

D2
1
1
J cz 2
mr 2 .
J cz1
(23)
mr 2
Расчетные и экспериментальные данные
Данная установка (прибор) предназначена для демонстрации того факта, что
центр масс цилиндрического тела движется быстрее – имеет большую
скорость центра масс, если осевой момент инерции этого тела меньше.
Сравниваем при демонстрации качение двух цилиндрических тел с разными
моментами инерции и примерно равными массами.
По предложенной выше методике определяем осевые моменты инерции тел 1
и 2 ( J cz1 , J cz 2 ). Проведем измерение геометрии тел и установки, определим
массы тел (m). Параметры тел определены и сведены в таблицу 9.1.
.
Таблица 9.1 Параметры тел.
m, кг
r, м
J cz , кг∙м2
Тело 1
1,223
2,455∙10–3
0,0539
–3
Тело 2
1,243
0,811∙10
0,0539
После этого определим ускорения центров масс цилиндрических тел A и D
по формулам
g sin 
g sin 
xC 
 A , xC  
 D .
J cz
J cz
1 2
1
mr
mr 2
(см. табл. 9.2)
Таблица 9.2. Ускорения центров масс тел
Тело 1
Тело 2
A, м/с2
0,438
0,5954
D, м/с2
0,9058
1,23
Скорости центров масс цилиндрических тел линейно зависят от времени,
отсюда ясно, что скорости центра масс второго тела (с меньшим осевым
моментом инерции) больше. Время движения центра масс цилиндрических
тел на первом этапе определим по формуле t  2L1 / A .
Если проинтегрировать уравнение движения на третьем этапе, то получим
t 2
, xC  xCE  Dt ,
xC  xCE t  D
2
откуда t  2L2 / D – время движения центра масс тела вверх по наклонной
плоскости до остановки.
51
Время движения центра масс тела на втором (криволинейном) участке можно
приближенно вычислить по формуле t2  R  r    / vCcp , где vCcp –
средняя скорость центра масс тела на криволинейном участке сопряжения
наклонных плоскостей. Скорость центра масс тела в точке K (
рис. 9.1) определим по зависимости:
x  2 AxC , где xC  L1 .
В рассматриваем случае R=270 мм, L1=520 мм.
Определим vCE :
vCE I  2  0,438  0,52  0,675 м/с,
vCE II  2  0,5954  0,52  0,787 м/с.
( t 2 I  7,45  10 2 с, t 2 II  6,39  10 2 c).
Время движения центров масс тел на первом и третьем этапах и суммарное
время даны в таблице 3. ( L2  250 мм).
Таблица 9.3. Время движения тел.
Расчетное время
Эксперимент % ошибки
t   t1  t 2  t3 , c
t1 , c
t 3  t , с
t , c
Тело 1 1,54
0,74
2,35
2,1
≈10
Тело 2 1,32
0,64
2,02
1,8
≈10
Определим высоту подъема центра масс тел на третьем этапе движения.





E
K
dr
h'
K1
dr
mg
mg
mg
mg
mg
Рис. 9.6. Схема третьего этапа движения.
Теория. На участке KK1 (рис. 9.6) определим работу силы тяжести тела.
52


0
0
 mgdr   mgR  r sin    d  mgR  r  sin    d     
(s)
 mg R  r  cos     0  mg R  r 1  cos    mgh .

На участке K1E (рис. 9.6) получим

 mgdr  mgR  r  cos  90d  mgR  r cos 0 
(s)

0
 mg R  r 1  cos   mgh .
T0
T4
h
T1
h1
H
h'
T2
h''
T3
Рис. 9.3. Геометрические характеристики криволинейного участка.
Из рис. 9.7 имеем H  h  h  h1  h (надо доказать!).
Применим теорему об изменении кинетической энергии к телу для процесса
движения тел на всех трех этапах движения:
T1  T0  mgh ; T2  T1  mgh ; T3  T2  mgh ; T4  T3  mgh1 .
Так как тело начинает движение из состояния покоя, то T0  0 . Кроме того,
T4  0 в конце третьего этапа движения. В этих уравнениях не учитываем
трение качения. Сложив уравнения, получим:
T4  T0  0  mg h  h  mg h1  h , откуда h  h  h1  h .
На самом деле это равенство выполняется приближенно. Если учесть потери
на трение качения, то уравнение примет вид mgH  mgH1  Aтр.кач.  0 , где
Aтр.кач. – работа момента трения качения. Отсюда Aтр.кач.  mgH1  H  . Здесь
H1  H . По разнице H  H1  H возможно рассчитать коэффициент трения
качения. Величина H определяется экспериментально.
Замечание. При движении обоих тел, если не учитывать силы трения
качения, имеем H1  H . Поэтому, отпустив тела из начального положения
без начальной скорости центра масс, получим отклонение специальных
флажков на наклонной плоскости на одинаковое расстояние. Эти флажки
фиксируют положение тел в моменты, когда скорости центров масс
становятся равными нулю (при крайнем верхнем положении T4  0 ).
53
Определим работу момента трения качения. Положим, что коэффициент
трения качения   const . Момент трения качения (если качение есть) равен
M тр.кач.  N , где N1  mg cos  , N 2  mg cos  на первом и третьем этапах.
Работа момента трения качения равна Aтр.кач.  A1  A2  A3 , где A1 , A2 , A3 –
работа момента трения качения на трех этапах. Определим
1
2
L1
L
A1    Ld  mg cos , A3    Ld  mg 2 cos ,
r
r
0
0
Оценим величину нормальной реакции на криволинейном участке:
 s 2

N 2  m
 g cos    .
Rr

s 2
0,36  1
s 2
Оценим величину ускорения
. Если s  0,6 1 м/с, то


R  r 0,2161
Rr
s 2
 0,17  0,47 . Здесь A2  N    , где
 1,66  4,63 , т.е.
R  r g
    L1  L2  , A2  1,2 N1    .
r  r 

Окончательно Aтр.кач.  mg L1 cos   L2 cos  1,2mg cos    .
r
Из Aтр.кач.  mgH ( H  H1  H ) имеем
 L cos   L2 cos

H   1
 1,2 cos    .
r


Определим δ. Если H  2,7 мм, то   0,186 мм.
54
10. Модель «Момент количества движения твердого тела. ТМд-10м
z
3

X
l
2
ПД
3'

mg
ПД
1
Z
y
O
l
4
5
x
П
mg
1
Y
П
Рис. 4.1 Схема модели
На неподвижной стойке 1 укреплена вилка 2, которая может вращаться
вокруг неподвижной оси Oz. В стойке расположены подшипники П. На вилке
закреплен вал 5, к которому приварена ось 4, на которой жестко закреплены
грузы 3 и 3'. Вал 5 вместе с осью 4 и грузами может вращаться вокруг
подвижной оси OZ. В теле вилки находятся подшипники ПД. Оси Oz и OZ
взаимно перпендикулярны.
Теоретическая часть
Определим кинетическую энергию системы, которая имеет две степени
свободы:
J 2 m v 2 m v 2
T z 2 11  2 2.
2
2
2
Грузы считаем материальными точками. Скорости равны vi  vir  vie , i  1,2 ,
2
 cos 2 , где   1Z , 
  2 z . Окончательно:
vir  vie . Здесь v12  l   l


2
J z
 2 cos2  .
T
 ml 2  2  
2
Составим уравнения движения:
   2 sin 2  0,
ml 2 2
d
J z   2ml 2  cos2   0.
dt




55
  20 .
Начальные условия: при t  0   0 ,   0 ,   10 , 
Из второго уравнения получим
 J z  2ml 2 cos 2   const  C ,





где C  20 J z  2ml 2 , откуда
 

C
J z  2ml 2 cos2 
.
Первое уравнение примет вид
 

2J
C 2 sin 2
 2ml cos
2
z
2

2
0.
Преобразовав его, получим
C 2 d cos2 
C 2 d b  cos2 
 d
 

  d .
;

d 2 J  2ml 2 cos2  2 8m 2l 4 b  cos2  2
z








Интегрируя, получим
 2
C2
 2 4
 C1 ,
2
8m l b  cos2 


2
10
Jz
C2
b

где C1 
,
.

2
2ml 2
8m 2l 4 1  b 
Окончательно получим

C2  1
1
C2
sin 2 
2
2
2

  10 
  10 

.
4m 2l 4  1  b b  cos2  
4m 2l 4 1  b  b  cos2 

56

Список литературы.
1. Динамика. Методические указания по проведению практических занятий с
использованием моделей и приборов по курсу «Теоретическая механика»/
под. ред. Г.Д.Блюмина.-М.: Изд. МГТУ, 1988 г.
2. Кинематика и статика. . Методические указания по проведению
практических занятий с использованием моделей и приборов по курсу
«Теоретическая механика»/ под. ред. В.В.Дубинина.-М.: Изд. МГТУ, 1988 г.
3. Научно-методические указания по использованию в учебном процессе
моделей по курсу «Теоретическая механика»: Отчет о НИР/ НУК ФН МГТУ;
Научный рук. В.В.Дубинин.-2003 г.
57