Домашнее задание(8

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Домашнее задание (осенняя сессия, 8 класс)
Дан угол 19 градусов. Построить циркулем угол в 1 градус.
Можно ли разрезать выпуклый 17-угольник на 14 треугольников?
Могут ли две неравные обыкновенные дроби, знаменатели которых 7 и 17, отличаться
меньше, чем а) на 0,01; б) на 0,005?
В республике прошли выборы в парламент. Все голосовавшие за партию «Лимон» любят
лимоны, а среди избирателей, голосовавших за другие партии, 90 процентов лимоны не любят.
Сколько процентов набрала партия «Лимон», если ровно 46 процентов, участвовавших в
голосовании, любят лимоны?
Все 8 вершин замкнутой пространственно несамопересекающейся ломаной совпадают с
вершинами куба. Докажите, что у этой ломаной найдутся четыре звена одинаковой длины.
Деду Морозу сшили новый мешок для новогодних подарков. Этот мешок был рассчитан на 12
тигрят и 15 слонят или на 30 слонят и на 10 мартышек или на 45 мартышек и 13
тигрят. А на сколько одних только тигрят рассчитан новый мешок деда Мороза?
Решить ребус (А + В + С + D)4 = АВСD.
Предлагается разгадать японскую головоломку, известную под названием «СУДОКУ».
В этой головоломке требуется заполнить все пустые клетки так, чтобы в каждой строке и в
каждом столбце все цифры от 1 до 9 встречались ровно один раз. Также ровно один раз все
цифры должны встречаться в каждом из выделенных секторов 3×3 клетки таблицы
СУДОКУ. Желаем успеха.
2
1
5
3
1
3
6
8
6
8
9
6
2
3
8
5
9
2
3
4
2
1
9
6
9
1
6
3
8
6
1
3
4
7
2
4
9
5
2
4
7
7
9
2
6
3
Информатика
1. Определить последнюю цифру числа а) 9 , б) 3n, в)an. a,n – натуральные числа, не большие 10100 .
2. Требуется протащить в зал для Королевы треугольное зеркало (в виде прямоугольного треугольника
с катетами с×d. Определить, можно ли это сделать, если дверь зала – прямоугольник a×b.
3. Написать программу, которая а) определяет, является ли Ваш билет (из 6 цифр) счастливым или нет.
Билет называют счастливым, если сумма его первых трех цифр совпадает с суммой его последних
трех цифр; б) выдающую количество счастливых билетов и их номера по заданному набору цифр
номера; в) определяющую по заданному номеру, какое наименьшее количество билетов еще надо
купить, чтобы попался счастливый.
n
Домашнее задание (осенняя сессия, 11 класс)
1. Найти множество значений функций а) f(x)=sin(2x)+cos(2x), б) f(x)=x2-4, в)
1
x2
f(x)= 2
, г) f(x)= 2
x 1
x 1
2. Область определения функции y=f(x) – отрезок [-1;2]. Найти область определения
функций а)y=f(x)+1,
б) y=f(2x),
в) y=│f(x)│, г) y=f(1-│x│),
д)y= - f(x), е) y= f(x2).
3. Является ли четной или нечетной функция
( x  5) 2  3 ( x  5) 2
x 1
)?
а) f ( x ) 
б) log a (
x 1
x cos x
x
 2( x  1) в виде суммы четной и нечетной функций.
4. Представить функцию
x 1
5. Непрерывны ли следующие функции на области определения? Если не везде
непрерывны, то укажите промежутки непрерывности:
x2 , x  0
1, x  0
1
3
а) y=x , б)y=  x , в) y = 
, г) y= 
,
д)y=[x2-2], здесь [x] –
x
0
,
x

0

x
,
x

0


целая часть числа х.
6. Про непрерывную функцию f известно, что а)она определена на всей числовой
прямой, б) f в каждой точке имеет производную (и, таким образом, график f в
каждой точке имеет единственную касательную), в) график функции не содержит
точек, одна координата которых рациональна, а вторая – иррациональна. Следует
ли отсюда, что график f – прямая?
15
7. Решить неравенства а)
 11  2 cos( x ) ,
cos( x )
1
б) log ( x 4 ) ( x 2  2 x  1)  log (  x 1) (  x 2  5 x  4)  3 .
2
8. Изобразить на плоскости множество точек (x,y), координаты которых
удовлетворяют а) неравенству │y-x2│+│y+x2│≤1; а также равенствам
б)│y - x│+x2=1 и в) y=│x2 - 3x│.
9. Расходы на топливо для парохода делят на две части. Первая из них не зависит от
скорости и равна 480р в час. А вторая часть расходов пропорциональна кубу
скорости, причем при скорости 10 км/ч эта часть расходов равна 30 р в час. При
какой скорости общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшей?
10. Докажите, что отрезок касательной к гиперболе y=a/x, заключенный между осями
координат, делится точкой касания пополам.
x 1
 a , б) x 2  a  x  a ,
11. Решить уравнения с параметрами а) 2
x 1
в) 4x – 2a(a+1)2 x-1 + a3 = 0,
г) (8a2 + 1)sin3x – (4a2 + 1)sinx + 2acos3x = 0
ax  1
 1,
12. Решить неравенства с параметрами а) │x + 2│-│2x+8│≥ a, б)
xa
в) (a2 – 4)cosx + 4asinx ≤8a, г) 2x2 – 4x + │4x+5a+3│+a – 3<0. Для последнего
неравенства найти такие а, при которых множество решений неравенства содержит
три числа.
13. Определить значение параметра, при котором уравнение имеет корни
Sin2x + acosx –a2 + 1 = 0.
14. Пусть точка М(х,y) принадлежит треугольнику ABC. А(-1;0); В(0;1); С(2;0). Какие
значения для этих точек может принимать выражение 2xy?
15. Заводу предложено выполнить заказ на изготовление 3500 деталей типа А и 3150
деталей типа В. Каждый из 100 рабочих завода затрачивает на изготовление 2
3
деталей типа А время, за которое он мог бы изготовить 3 детали типа В. Для
выполнения заказа рабочие делятся на 2 бригады, которые начинают работу
одновременно и каждая из которых изготавливает детали только одного типа.
Каким образом следует разделить рабочих по бригадам для того, чтобы завод
выполнил заказ за наименьшее время?
16. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 через точку А и середины ребер ВВ1 и СD
проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит диагональ ВD?
17. Найдите все двузначные числа, обладающие следующим свойством: если вставить
между цифрами числа произвольное ненулевое количество семерок, то полученное
число делится нацело на 13.
18. Докажите, что любую замкнутую ломаную на плоскости, длина которой равна 1,
можно покрыть кругом радиуса ¼.
19. Сектор (информатика).
Из круга радиуса R с центром в начале координат выделен сектор двумя
радиусами, от угла φ1 до φ2 с положительным направлением оси Ох. Из конца дуги,
определяемой углом φ1, проведена прямая, делящая площадь сектора на две равные
части. Определите ее уравнение. Проиллюстрировать задачу на экране компьютера.
20. Изобразить графики функций а) y=sin(arcsin(x));
б) y=arcsin(sin(x)).
21. Расшифровка (информатика)
Компания по защите интеллектуальной собственности решила повысить уровень
защищенности своих операционных систем путем шифрования всех сообщений,
передаваемых внутри ее локальных сетей. Любое допустимое в компании сообщение
представляет собой строку S = s1s2…sn, состоящую исключительно из букв латинского
алфавита. Шифрование сообщения осуществляется в K фаз. На каждой фазе строка S
заменяется строкой, в которой сначала располагаются все буквы строки S, стоявшие на
позициях с номерами, являющимися простыми числами (первый блок), а затем – все
остальные буквы (второй блок). Напомним, что число называется простым, если оно –
натуральное и имеет ровно два различных натуральных делителя. Относительный порядок
букв в каждом из двух блоков остается неизменным. Например, строка S = abcdefgh на
первой фазе шифруется в строку S = bcegadfh. Если осуществляется вторая фаза
шифрования, то строка примет вид S = ceafbgdh. После передачи зашифрованного
сообщения по сети оно должно быть дешифровано, чтобы получатель смог прочитать
исходную запись.
Требуется написать программу, осуществляющую дешифрование пришедшей по
сети строки.
Технические требования:
Ввод данных из текстового файла input.txt. Вывод данных в текстовый файл output.txt.
Ограничение по времени тестирования: 1 секунда на один тест
Формат входных данных:
Первая строка содержит натуральное число K (K ≤ 100). Далее - строка, которая содержит
сообщение S после K фаз шифрования, состоящая из n ( 1 ≤ n ≤ 250) букв латинского алфавита.
Формат выходных данных:
В файл вывести только одну дешифрованную строку S.
Пример:
Входной файл
Выходной файл
2
ABCDEFGH
CEAFBGDH
1
ABACABA
BAAAACB
Домашнее задание (осенняя сессия, 9 класс)
Элементы выпуклого анализа.
1. Доказать, что произвольная полуплоскость – выпуклое множество.
2. Привести пример 2-х выпуклых множеств, объединение которых не
выпукло, и привести пример двух выпуклых множеств, объединение
которых является также выпуклым множеством.
3. Доказать, что круг – выпуклое множество.
4. Привести пример выпуклого множества М такого, что дополнение М
– также выпуклое множество.
5. Доказать, что произвольный треугольник – выпуклое множество,
любой правильный многоугольник – также выпуклое множество.
Задачи с модулем
1. Решить уравнения:
а) x 2  x  2  0 б) x 2  2x  3  3x  3 в) 2 x  3  x 2  2 x  6
г) 2 x  6  x  x  6  18
д) x  5  x  c  4
2. Решить неравенства:
а) x 2  2 x  x
б) x  1x  3x  4x  6  17
в) x  2  2  x
г) x  2  2  x
Олимпиадные задачи
1. В треугольнике площади 2 расположены 15 точек, никакие три из
которых не лежат на одной прямой. Докажите, что существует
треугольник с вершинами в этих точках, площадь которого меньше,
чем 2/7.
2. Назовем трехзначное число особенным, если из него можно
вычеркнуть цифру так, что образовавшееся число будет меньше
суммы цифр исходного трехзначного. Сколько существует особенных
чисел?
3. Решить уравнение 1997x + 2003y = Axy в целых числах для А=0, 1, 2, 5 .
4. Известно, что четыре каждые из 5 заданных различных окружностей
проходят через одну точку. Доказать, что найдется точка, через
которую проходят все окружности.
Информатика
«Игра в числа» (30 баллов)
Имеется n различных натуральных чисел ai, i ≤ n (n ≤ 12, ai ≤ 10000). Добавить
наименьшее количество натуральных чисел так, чтобы из заданных чисел вместе с
добавленными можно было составить возрастающую арифметическую прогрессию.
Напомним, что последовательность (набор) чисел называют возрастающей
арифметической прогрессией, если каждое последующее число последовательности
отличается от предыдущего на одно и то же положительное постоянное число,
называемое разностью.
Входные данные:
n – количество заданных натуральных чисел,
a1 a2 a3 …
an - заданные числа .
Результат :
k – количество добавленных членов последовательности,
b1 b2 b3 …
bm - наименьшая последовательность чисел, являющаяся
арифметической прогрессией, содержащей заданные числа.
Пример.
Результат
3
0
135
135
8-9.5. «Маша и медведь» (30 баллов)
Однажды девочка Маша заблудилась в лесу и стала жить у медведя Миши в лесной
избушке. Иногда она пекла пирожки и просила медведя, чтобы он отнес их ее бабушке с
дедушкой. Однако Миша сам не прочь был полакомиться пирожками, поэтому по пути в
лесу время от времени садился на пенек и съедал пирожок. Бывало, что и пустую
корзинку приносил в деревню.
Чтобы такого не происходило, Маша поселила в каждый пенек, стоящий рядом с
лесной тропинкой, дрессированную мышку-сигнальщика. Если Миша садится на пенек,
мышка моментально выбегает из него и начинает махать платочком. Все мышкисигнальщики, увидевшие этот сигнал, начинают его повторять. Время, требуемое для
передачи сигнала и начала его воспроизведения другой мышкой, равно 1 с. За такое же
время доходит сигнал от любой мышки, живущей в зоне видимости домика, до Маши.
Таким образом, через некоторое время Маша получает сигнал о том, что Миша сел на
пенек. Она немедленно берет телефон и скидывает медведю заранее приготовленное
сообщение: «Миша, не садись на пенек, не ешь пирожок, неси бабушке, неси дедушке!».
На это требуется ровно три секунды.
Если Миша получит сообщение до того, как взял пирожок, то не станет его есть, а
если пирожок уже у него в лапах, то Мишу ничем не остановить.
На рисунке ниже приведена схема расположения пеньков, на которые Миша может
присесть в лесу. Отрезками соединены пеньки, находящиеся в зоне видимости друг друга.
Также проведены отрезки к пенькам, которые Маша видит из дома медведя.
Входные данные: натуральные числа t, k, n1,...,nk. где t – количество секунд,
требуемых Мише, чтобы сесть на пенек и взять пирожок; k – количество пеньков, на
которые медведь садился во время лесной прогулки. Далее перечислены номера этих
пеньков.
Выходные данные: номера тех пеньков, на которых Мише удалось съесть пирожок.
Если таковых не оказалось, то необходимо
Входные данные
Выходные данные
вывести строку «не съел». Пример:
6 4 14 4 19 6
19 6
7 4 2 3 7 12
4
16
13
7
1
8
11
17
2
14
Дом
медведя
20
9
18
3
5
10
6
15
12
19
не съел
1.
Домашнее задание (осенняя сессия, 10 класс)
Алгебра
При каких значениях а система имеет решение:
x  y  1

2
2 xy  2 y  a  4
2.
3.
4.
5.
При каких значениях а неравенство ( x  3  2a )( x  3a  2)  0 выполняется при всех 2  x  3 ?
Смешали 30-процентный раствор соляной кислоты с 10-процентным раствором и получили 600 г 15процентного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
Расстояние между пристанями А и В по реке 50 км, по шоссе – 40 км. Пассажир опоздал к отплытию
теплохода из А на 1,5 часа. Он мгновенно садится в такси и достигает В одновременно с теплоходом.
Выяснилось, что скорость такси была на 55 км/ч больше скорости теплохода. Какова скорость
теплохода?
Функция f периодична с периодом 2, совпадает с функцией y  x на отрезке 0; 1 и совпадает с
 
 
функцией y  2  x на отрезке 1; 2 . Задайте функцию f одной формулой.
6. Изобразить графики функций
а) y  sin(arcsin ( x)) ; б) y  arcsin(sin ( x)) .
7. Функция f , определенная на множестве действительных чисел, с множеством значений также в R,
f ( x)  f ( y )
, x, y  R, x  y  0 . Существует ли такое
x y
значение x  R , для которого f ( x )  0 ?
удовлетворяет тождеству
f ( xy) 
Задачи с модулями
1.
Решить уравнения:
а)
x  7  7  x б) x  3  x  1  x  2  6 .
2.
а)
Решить неравенства:
x 8  8 x
x  3  ( x  3)(5  x) .
б)
ГЕОМЕТРИЯ
Найти множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до прямых, проходящих
через стороны единичного квадрата, равна 4.
2. Дан круг и точка внутри него. Провести через данную точку хорду заданной длины а.
3. Изобразить высоты, если дано изображение треугольника и центра его описанной окружности, и
наоборот.
РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
1.
1  2 sin x sin x
 0.
1.
Решить уравнение
2.
Докажите, что на графике функции
симметрии графика.
3.
Четыре одинаковые банки с четырьмя различными красками наполнены на
4.
переливать любую часть жидкости из одной банки в другую. Можно ли во всех банках сделать
одинаковую смесь? (Другой посуды нет и выливать краску нельзя.)
Построить графики функций:
x2  9
а) y 
x3
x(8  x)
б) y  x 
y  x 3  3x 2  3x  3 есть точка, которая является центром
x2 1
x 1
2
в)


y  x2  4
г)
3 . Имеется возможность
4
y  2x  1
5. Изобразить на плоскости множества точек, удовлетворяющих условию
а) x
1.
2
 y2  x2 y2  1,
б)
1 1
 ,
x y
в)min{x;y}=1.
ИНФОРМАТИКА
Написать программу (или привести иной алгоритм), выводящую сумму всех n-значных чисел,
полученных в результате перестановки цифр 1,2,, n ( n  10 ). Например, при n  1 эта сумма
равна 1, при
n  3 , она равна 123  132  213  231  312  321  1332 .
Написать программу, решающую следующую задачу: Каждая координата каждой вершины
треугольника задана с погрешностью  . Определить наименьшее и наибольшее возможное значение
площади треугольника.
3. Капризы погоды.
В результате радиоактивного выброса появилось облако, которое под действием
постоянного в этих местах ветра начало двигаться, покрывая под собой землю радиоактивными осадками. У
Петра Петровича подошла пора выкапывать картошку, и он собирался выехать на участок. Если его огород
окажется на зараженной территории, то, естественно, с картошкой надо расставаться. Требуется определить,
попадает ли его огород под действие радиации или нет.
Исходное облако имело форму выпуклого многоугольника с N вершинами, координаты которых
(xi,yi )(1 ≤ i ≤ N) в порядке обхода по часовой стрелке, N ≤ 5. Все заданные вершины имеют целые
координаты. Движение по ветру задается вектором скорости V с координатами (v1 , v2) км/час (координаты
вектора – целые числа). Огород Петра Петровича мал, и его можно считать точкой с координатами(s1, s2).
Требуется определить, попадает ли огород под радиацию вообще (если ветер не меняет своего
направления), или попадет позже, чем через 12 часов. Если огород окажется под радиацией раньше, то в
течение какого количества часов огород еще будет доступен. Петр Петрович умеет добираться до огорода
быстро, поэтому время приезда и отъезда учитывать не нужно.
Имя входного файла: INPUT.TXT
Имя выходного файла: OUTPUT.TXT
Ограничение по времени тестирования: 5 секунд на каждый тест
Формат выходных данных::
1 строка - N – количество вершин многоугольника, задающего облако,
следующие N строк содержат по два числа– координаты (xi,yi ) многоугольника, записанные через пробел,
следующая строка – два числа (v1 , v2 ) через пробел,
следующая строка – два числа (s1, s2) через пробел.
2.
Формат выходных данных:
Одна строка - «Облако не заденет огорода» или «Облако не дойдет до огорода за 12 часов» или «Огород под
облаком» или
t – количество часов, в течение которых облако не задевает огорода.
Пример.
INPUT.TXT
OUTPUT.TXT
4
1
0 0
0 2
2 2
2 0
1 1
4 4