Уважаемые пользователи этой программы, . КИСЛИЦЫН А.П
advertisement
.
КИСЛИЦЫН А.П
MATLAB
(МАТРИЧНАЯ ЛАБОРАТОРИЯ)
Уважаемые пользователи этой программы,
как показала практика очень неудобно пользоваться,
издаваемой бумажной и электронной версией
программы, к тому же там не дается ни каких
сведений по использованию тех или иных
математических функций. Автор и решил
избавиться от этого недостатка. Работа себя
оправдала. С уважением, Анатолий Кислицын.
АНАЛИТИЧЕСКИЕ СПРАВКИ, ПРОГРАММЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ. ................................................. 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ .................................................................................................................... 5
1. LIMIT
Предел функции одной переменной ......................................................................................... 5
2.Дифференцирование функции одной переменной ..................................................................................... 5
3.Интегрирование функции одной переменной.............................................................................................. 5
4 . SYMSUM Суммирование рядов ................................................................................................................. 5
5.TAYLOR Разложение функции в ряды Тейлора и Маклорена . .............................................................. 5
6. СПРАВКА Решение системы линейных уравнений .................................................................................. 6
7 JFCOBIAN Вычисление якобиана функции. .............................................................................................. 7
8. Нахождение зависимых функций от независимых переменных (суперпозиция). ................................... 7
9 .SOLVE Решение уравнений и систем уравнений ................................................................................... 8
10 . DSOLVE Решение ОДУ и их систем . .................................................................................................... 11
11. Paбота с символьными массивами и матрицами. ................................................................................. 13
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ................................................................................................................................. 14
12 DET Определитель матрицы. .................................................................................................................. 14
13 . POLY Характеристический полином матрицы...................................................................................... 14
14 .DIAG Формирование или извлечение диагоналей матрицы. ............................................................... 15
15 .TRIL Формирование нижней треугольной матрицы (массива) ............................................................ 16
16 . TRIU Формирование верхней треугольной матрицы (массива).......................................................... 17
17. СПРАВКА. ( Ранги, миноры матрицы ) ................................................................................................... 17
18.RANK . Ранг целочисленной матрицы A . ................................................................................................ 18
19 .COLSPACE. Базис пространства столбцов целочисленной матрицы ................................................ 18
20.NYLL . Нуль – пространство для целочисленной матрицы .................................................................... 18
21.INV. Обращение символьной или целочисленной матрицы. ................................................................ 19
22. SVD. СПРАВКА. Сингулярное разложение символьной или целочисленной матрицы. ..................... 19
23. Справка: собственные векторы и собственные значения линейного преобразования. ..................... 20
25 . СПРАВКА: понятие о канонической форме Жордана. .......................................................................... 22
26 JORDAN. Каноническая форма Жордана символьной матрицы. .......................................................... 22
27. EXPM. Матричная экспонента . .............................................................................................................. 23
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ. ..................................................................................................................... 23
28. Функции интегрального косинуса и синуса. ............................................................................................ 23
29. LAMBERTW W – функция Ламберта .................................................................................................... 24
30. ZETA Дзета – функция Римана .............................................................................................................. 25
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ..................................................................................................... 25
31. FOURIER Преобразование Фурье. ......................................................................................................... 25
32 . IFOURIER. Обратное преобразование Фурье. .................................................................................... 27
33. LAPLACE . Преобразование Лапласа . ................................................................................................... 28
34. ILAPLACE. Обратное преобразование Лапласа . .................................................................................. 29
ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА......................................................................................... 30
35. ZTRANS . Z – преобразование ............................................................................................................... 30
36.IZTRANS . Обратное Z – преобразование. .............................................................................................. 31
ГРАФИЧЕСКИЕ И ИНТЕРАКТИВНЫЕ СРЕДСТВА. ................................................................................. 33
37.EZPLOT. Построение графика символьной функции. ........................................................................... 33
38. FUNTOOL. Интерактивный графический калькулятор. ......................................................................... 33
39. RSUMS . Вычисление сумм Римана . ..................................................................................................... 34
ПАКЕТ ПРОГРАММ. ..................................................................................................................................... 34
40 БАЗОВЫЕ ОПЕРАЦИИ SYM . Формирует символьную переменную или объект. ............................ 34
41. SYMS Формирует группу символьных объектов . ................................................................................. 35
42. FINDSYM Составляет список символьных переменных ...................................................................... 35
43. REAL, IMAG действительная и мнимая часть символьной переменной ............................................ 35
44.СONJ Комплексное сопряжение элементов символьного массива ...................................................... 35
45. PRETTY. Вывод символьного выражения на экран. ............................................................................. 36
46. LATEX Преобразование символьного выражения в коды редактора LaTeX....................................... 36
47.CCODE Запись символьного выражения на языке С ............................................................................ 36
48. FORTRAN
Запись символьного выражения на языке Fortran .................................................... 36
49. DOUBLE. Преобразовать символьный объект в числовой .................................................................. 37
50.CHAR Преобразовать символьный объект в строковый ...................................................................... 37
51. Преобразовать вектор коэффициентов в символьный полином .......................................................... 37
52. SYM2POLY Преобразует символьный полином в вектор коэффициентов......................................... 37
УПРОЩЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ. ............................................................................. 37
53.SIMPLIFY Упростить символьное выражение ........................................................................................ 37
54. EXPAND Раскрыть символьное выражение ......................................................................................... 38
55.FACTOR Разложить символьное выражение на простые множители. ................................................ 38
56. COLLECT Приведение однородных членов .......................................................................................... 38
57. SIMPLE Упростить символьное выражение .......................................................................................... 38
58. NUMDEN Приведение символьных полиномов к рациональной форме. .......................................... 38
59. HORNER Представление полинома в виде схемы Горнера ............................................................... 39
60. SUBEXPR . Записать символьное выражение с использованием подстановок ................................. 39
61. SUBS Подстановка значений символьных переменных ...................................................................... 39
ЯЗЫК MATLAB .............................................................................................................................................. 41
Назначение ...................................................................................................................................................... 41
Операторы, специальные символы, переменные и константы .................................................................... 42
ФУНКЦИИ ...................................................................................................................................................... 43
Массивы, матрицы и операции над ними ...................................................................................................... 43
Массивы и матрицы специального вида ..................................................................................................... 43
Характеристики массивов ........................................................................................................................... 43
Операции над матрицами ............................................................................................................................. 44
Специальные матрицы ................................................................................................................................. 44
Математические функции......................................................................................................................... 44
Тригонометрические функции ..................................................................................................................... 44
Трансцендентные функции........................................................................................................................... 44
Функции обработки комплексных чисел ...................................................................................................... 45
Округление и модульная арифметика ........................................................................................................ 45
Специальные математические функции .................................................................................................... 45
Теоретико-числовые функции ...................................................................................................................... 45
Функции преобразования систем координат ............................................................................................. 45
Линейная алгебра ......................................................................................................................................... 45
Матричный анализ ......................................................................................................................................... 46
Решение систем линейных уравнений ........................................................................................................ 46
Собственные значения и сингулярные числа............................................................................................. 46
Вычисление функций от матриц ................................................................................................................. 46
Утилиты ......................................................................................................................................................... 46
Полиномы и операции над ними.................................................................................................................... 46
Анализ данных и преобразование Фурье ................................................................................................ 46
Базовые операции .......................................................................................................................................... 46
Численное интегрирование .......................................................................................................................... 47
Вычисление минимумов и нулей функций ................................................................................................... 47
Аппроксимация и интерполяция данных ..................................................................................................... 47
Геометрический анализ данных ................................................................................................................... 47
Вычисление конечных разностей ................................................................................................................ 47
Корреляционный анализ ................................................................................................................................ 47
Преобразования Фурье ................................................................................................................................. 47
Свертка и фильтрация ................................................................................................................................ 47
Звуковое воспроизведение ............................................................................................................................ 47
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) ............................................................... 48
Решатели ОДУ ............................................................................................................................................... 48
Дескрипторная поддержка опций решателя .............................................................................................. 48
Формирование выходов решателя .............................................................................................................. 48
Работа с разреженными матрицами ...................................................................................................... 48
Элементарные разреженные матрицы ...................................................................................................... 48
Характеристики разреженных матриц ...................................................................................................... 48
Преобразование разреженных матриц ....................................................................................................... 48
Работа с ненулевыми элементами ............................................................................................................. 48
Операции над графом разреженной матрицы ........................................................................................... 48
Алгоритмы упорядочения ............................................................................................................................. 48
Решение систем уравнений с разреженными матрицами ....................................................................... 48
Визуализация разреженных матриц ............................................................................................................ 49
Вспомогательные операции ......................................................................................................................... 49
Элементарная графика .............................................................................................................................. 49
Двумерные графики ....................................................................................................................................... 49
Трехмерные графики ..................................................................................................................................... 49
2
Задание осей координат ............................................................................................................................... 49
Управление цветом ....................................................................................................................................... 49
Палитры цветов ............................................................................................................................................ 49
Управление подсветкой ................................................................................................................................ 50
Управление углом просмотра ...................................................................................................................... 50
Надписи и пояснения к графикам ................................................................................................................. 50
Создание твердой копии и сохранение графика ........................................................................................ 50
Двумерные графики ....................................................................................................................................... 50
Трехмерная графика ...................................................................................................................................... 50
Работа с графическими образами ............................................................................................................... 51
Анимационные возможности ........................................................................................................................ 51
Объемные графические объекты ................................................................................................................ 51
Дескрипторная графика ............................................................................................................................ 51
Создание и управление графическим окном ............................................................................................... 51
Создание осей координат и управление ими .............................................................................................. 51
Объекты дескрипторной графики .............................................................................................................. 51
Операции над графическими объектами .................................................................................................... 51
Графический интерфейс пользователя (GUI) ................................................................................................ 52
Функции GUI .................................................................................................................................................... 52
Средства проектирования GUI.................................................................................................................... 52
Диалоговые панели ........................................................................................................................................ 52
Создание меню ............................................................................................................................................... 52
Создание кнопок инструментальной панели ............................................................................................. 52
Утилиты задания свойств объектов figure и axes ................................................................................... 52
Вспомогательные утилиты ........................................................................................................................ 52
Обработка строк......................................................................................................................................... 53
Основные функции ......................................................................................................................................... 53
Проверка строк .............................................................................................................................................. 53
Операции над строками ............................................................................................................................... 53
Преобразования строк .................................................................................................................................. 53
Преобразования систем счисления ............................................................................................................. 53
Операции ввода/вывода файлов ........................................................................................................................ 53
Открытие и закрытие файлов .................................................................................................................... 53
Двоичные файлы ............................................................................................................................................ 53
Форматированные файлы ............................................................................................................................ 53
Позиционирование файла.............................................................................................................................. 53
Работа с каталогами.................................................................................................................................... 54
Импорт-экспорт файлов .............................................................................................................................. 54
Импорт/экспорт графических образов ....................................................................................................... 54
Импорт/экспорт звуковых файлов .............................................................................................................. 54
Время и даты ................................................................................................................................................... 54
Текущее время и дата ................................................................................................................................... 54
Основные функции ......................................................................................................................................... 54
Типы данных и структур ................................................................................................................................ 54
Многомерные массивы .................................................................................................................................. 54
Массивы ячеек ................................................................................................................................................ 55
Массивы записей ............................................................................................................................................ 55
Классы объектов и программирование ............................................................................................................ 55
Классы объектов ........................................................................................................................................... 55
Объектно-ориентированное программирование ...................................................................................... 55
Переопределение методов ........................................................................................................................... 55
Динамический обмен данными (DDE) ............................................................................................................. 56
Функции клиента ............................................................................................................................................ 56
Команды ППП Notebook .................................................................................................................................. 56
Команды и функции ППП Symbolic Mathematics Toolbox ................................................................................ 56
Базовые операции .......................................................................................................................................... 56
Преобразование символьных объектов ...................................................................................................... 57
Арифметика переменной точности ........................................................................................................... 57
Упрощение математических выражений ................................................................................................... 57
Математический анализ .............................................................................................................................. 57
Суперпозиция, обращение функций и решение уравнений ....................................................................... 57
Линейная алгебра........................................................................................................................................... 57
Специальные функции ................................................................................................................................... 58
Интегральные преобразования ................................................................................................................... 58
3
Графические и интерактивные средства .................................................................................................. 58
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Для заметок пользователя…..
4
АНАЛИТИЧЕСКИЕ СПРАВКИ, ПРОГРАММЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
1. LIMIT
Предел функции одной переменной
пример: syms x
limit(sin(x)/x)
ans=1
limit((x-2)/(x^2-4),2)
ans=1/4
limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf) ,где inf=бесконечное значение.
ans=exp(6*t)
,exp Экспоненциальная функция.
limit(1/x,x,0,'right')
,right правый предел.
аns=inf
limit(1/x,x,0'left')
,left левый предел.
limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0)
ans=cos(x)
2.Дифференцирование функции одной переменной
DIFF Функции diff(S,n),diff(S,'v',n),diff(S,n,'v') дифференцируют
n раз символьное выражение S по переменной, указанной в 'v'.
пример:diff(sin(x^2))
ans=2*cos(x^2)*x
diff(t^6,6)
ans=720
Продифференцируем матрицу F=[f*x b*x^2;c*x^3 d*c] дважды:
diff('[a*x b*x^2; c*x^3 d*c]',2)
ans=[0, 2*b];[6*c*x, 0]
3.Интегрирование функции одной переменной
INT Функция int(S,v) вычисляет неопределенный интеграл по переменной v
Функция int(S,v,a, b) вычисляет определенный интеграл по независимой
переменной v в пределах от a до b.
пример: если S константа, то интеграл берется по переменной x.
int(1/(1-x^2))
ans=atanh(x) ,
где atanh гиперболический арктангенс
int(sin(alpha*u),
,alpha (альфа)
ans=-cos(alpha*u)/u
int('besselj(1,x)','x') ,besselj функция Бесселя первого рода
ans=-besselj(0,x),
bessely - второго рода , besselh -третьего рода
1
Вычислить х1 log(x1) dx1
0
int('x1* log(1+x1)','x1',0,1
ans =1/4 sin(pi)
Вычислитьх dx
2
int('4*x*pi','x',2,sin(pi))
ans = -65820…
4 . SYMSUM Суммирование рядов
Функция r = symsum(s,n) выполняет суммирование ряда по индексу в пределах от 0 до n-1.
Функции r = symsum(s,a,b) и r = symsum(s,n,a,b) выполняют суммирование в заданных
пределах от a до b.
5.TAYLOR Разложение функции в ряды Тейлора и Маклорена .
5
Разложение в ряд Тейлора аналитической функции f(x) в точке х = а задается следующим
образом:
(n)
n (a )
f
f(x) = (x - a)
.Разложением Маклорена называется ряд Тейлора
n!
n0
при а = 0 f(x) =
x
n
(0)f
(n)
.
n!
Функция r = taylor(f,n,v) выполняет разложение функции f в ряд Маклорена по степеням
переменной v до n-1-го порядка включительно. Функция r = taylor(f,n,v,a) выполняет
разложение функции f в ряд Тейлора, в точке а, по степеням переменной v до n-1-го
порядка включительно. Функция r = taylor(f) использует аргументы n,v так как это
применяется по умолчанию то n = 6, v – по функции findsym , а = 0.
Пример:
syms x
n = 6; a = 1;
tayler(log(x), n, a)
ans = x-1-1/2*(x-1)^2+1/3*(x-1)^3-1/4*(x-1)^4+1/5*(x-1)^5
В случае, когда функция f является функцией от двух или более переменных F = f(x,y,…),
разложение в ряд по одной из переменных задается путем явного указания этой переменной
.
n 0
n
y
n! d f (x, y) 0
dy
N
n 0
n
n
syms x y
taylor(f, y, N) или tfylor(f, N, y) ,где N –целое
положительное число , по умолчанию - a = 0
6. СПРАВКА Решение системы линейных уравнений
а) Если определитель системы D 0, система определенная; она имеет одно решение:
корни хj выражаются формулами Крамера:
D1
Dn
Xj = ------ , …. Xn = ------- .
D
D
Если D = 0 хотя и не все Dj = 0, то система несовместная: она не имеет ни одного
решения.
пример:
2x+y+3z = 9
x-2y+z = -2
3x+2y+2z = 7
а11 а12
вычисление определителя D: а21 а22 = а11 а22 -а12 а21 ;
+
а11 а12 а13 а11 а12
а 21 а 22 а 23 а 21 а 22 = а11 а22 а33 + а12 а23 а31 + а13 а21 а32 – а13 а22 а31-а11а23а33а 31 а 32 а 33 а 31 а 32
- +
+ +
- а12 а21а33 ;
Вычисление определителя Dj по заданному примеру:
9
1 3
Dx = 2 2 1 = -13, Dy =
7
2 2
2
9 3
2
1
9
1 2 1 = 26, Dz = 1 2 2 = 39,
3
7 2
3
2
7
6
D
Dx
D
13
26
39
= = - 1, y = y =
= 2, z = z =
=3
D
13
13
D
13
D
Система определенная, неоднородная. Система называется несовместной и однородной,
если все Dj = 0
Например: 2x+3у-z = 1,
x- y + z = 2,
3x + 2y = 5;
2
3 1
1
3 1
Откуда x =
D = 1 1
1 = 0, Dx = 2 1
1 =4
3
2
0
5
2
0
б) Зависимость функций нескольких переменных.
Две однозначные функции от двух переменных u = f (x,y) и v = f(x,y), заданные в некоторой
области, называются зависимыми одна от другой, если одна из них может быть
представлена как функция другой: допустим u = (x2 +y2)2 и v = x 2 y 2 , определенные в
области x2+y2 0 зависимые, так как u = v4 . Аналогично: m функций от n переменных
заданных в некоторой общей области, называются зависимыми, если одна из них
представлена как функция остальных, и независимыми, если такой функции не существует.
Аналитический признак независимости функций их якобиан (определитель). Он не должен
обращаться в рассматриваемой области тождественно в нуль.
Например: две функции u = f(x,y) и v = (x,y) их определитель
df df
D(f, ) D(u, v)
dx dy
,обозначаемый
0
;
d d
D(x, y) D(x, y)
dx dy
7 JFCOBIAN Вычисление якобиана функции.
Функция R = jacobian(F,v) вычисляет матрицу Якоби для функции F по переменной v
Пример: syms x y z
F = [x*y*z ; y ; x+z]
V = [x, y, z]
J = jacobian(F, v)
J=
[y*z, x*z, x*y]
[0, 1, 0]
[1, 0, 1]
Вычислим матрицу Якоби для второго примера из пункта 6а.
Syms x y z
F = [(2*x)+(3*y)-z ; x-y + z; (3*x)+(2*y)]
v = [x, y, z]
J = jacobian(F, v)
J=
[ 2 3 –1]
[1 -1 1] = 0 . Функции зависимые, система несовместна.
[3 2 0]
Для одного уравнения можно делать запись:
b = jacobian (x + z, v)
b=
[ 1, 1]
8. Нахождение зависимых функций от независимых переменных (суперпозиция).
СOMPOSE Функция compose(f,g) находит функцию f(g(у), где а = f(x) и g = g(y), как
функция независимой переменной у.
7
compose(f,g,z) находит функцию f(g(y)), где f= f(x) и g = g(y), как функция новой
переменной z .
compose(f, g, x, z) находит функцию f(g(z)), где f = f(x) , это существенно , так как функция
f может зависеть от двух или более независимых переменных.
Например: f = cos(x/t) тогда compose(f,g,x,z) находит cos(g(z)/t), а compose(f,g,t,z)
находит cos(x/g(z)) .
сompose(f,g,,x,y,z) находит функцию f(g(z)), где f = f(x), а у-как независимая переменная
функции g .
Например: f = cos(x/t) , а g = sin(y/u), тогда compose(f,g,x,y,z) находит cos(sin(z/u)/t), а
сompose(f,g,x,u,z) находит cos(sin(y/z)/t) .
Разберем элементарный пример . Допустим, требуется найти некоторое выражение,
содержащее две независимые переменные x и у. Нам известна одна из функций этого
выражения по переменной х f =f(x) равная f = v2 x2
g = v y .
Используя программу MATLAB, найдем функцию f = f(g(y)). Запишем:
syms x y v
f =(v^2-x^2)^(1/2); g = (v^2-y^2)^(1/2);
compose(f, g)
ans =
(y^2)^(1/2)
Имеем: величина f = y. Искомое выражение будет: v2 = x2+y2.
Аналогично:
Syms x y z t u;
F = 1/(1+x^2); g = sin(y); h = x^t; p = exp(-y/u);
Compose(f, g)
ans =
1/(1+sin(y)^2)
compose(f, g, t)
ans =
1/(1+sin(t)^2
compose(h, g, x, z)
ans =sin(z)^t
compose(h, g, t, z)
ans =
x^sin(z)
compose(h, p, x, y, z)
ans = exp(-z/u)^t
compose(h, p, t, u, z)
ans =x^exp(-y/z)
1
1
1
1
1
1
Cсоответственно:
;
;
; и т.д.
2
2
2
2
2
2
1 sin y 1 x 1 sin t 1 x 1 sin t 1 sin t
2
2
9 .SOLVE Решение уравнений и систем уравнений .
СПРАВКА .
Случай, когда число неизвестных равно числу уравнений
а11 х1 + а12 х2+…+а1n хn = b1
а 21 x1 + a22 x2 +…+a 2n xn = b2 система S
………………………………..
an1 x1 + an2 x2 + …+ ann xn = bn
8
a
11
a
n1
Определитель системы D = ...
... a1n
... ... , Dj -определитель, получающийся
... a nn
из D заменой столбца, составленного из коэффициентов akj при неизвестном xj, столбцом
, составленным из свободных членов bk;
b1 a12 ... a1n
например: D = ... ... ... ...
.
bn a n2 ... a nn
Система S называется однородной, если все bk = 0, а значит и все Dj = 0, и не
однородной, если хотя бы одно bk отлично от нуля. Если определитель D 0 система
S – определенная;
она имеет одно решение: корни xj выражаются формулой Крамера (см п.6).
Если D = 0 и не все Dj = 0, то система S – несовместная (не имеет решения)
Функция g = solve(eg,var) решает уравнение относительно переменной var. Если знак
равенства не указан, то предполагается уравнение вида
eg = 0. Функции g = solve(eg1, eg2,…,egn) и g = solve(eg1, eg2,…egn,
var1, var2,…varn) решают системы уравнений относительно n переменных . Если
переменные не указаны они определяются автоматически .
Результаты вычислений выдаются:
для одного уравнения и одного входного аргумента в виде одномерного или
многомерного массива ячеек; для систем уравнений с одним входным аргументом в виде
массива записей; для систем уравнений с числом аргументов, равным числу переменных
решения выдаются по именам переменных в алфавитном порядке
Примеры:
syms x
.x = solve(‘p*sin(x) = r’)
ans =
asin (r/p) .
syms x
или
syms a b c x
x = solve(‘a*x^2 + b*x = -c’)
x = solve(a*x^2 + b*x + c)
x=
[1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))]
[1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]
syms t
t = solve(tan(t)-sin(2*t))
t=
[
0]
[
pi]
[1/4*pi]
[-3/4*pi]
syms x
x= solve(cos(x) – sin(x^2))
x = 849368862392….
Примеры решения систем:
syms x y
S = solve('x^2+x*y+y = 3','x^2-4*x+3 = 0')
S=
x: [2x1 sym]
y: [2x1 sym]
S.x
9
ans =
[ 1]
[ 3]
S.y
ans =
[ 1]
[ -3/2]
syms x y
[x,y] = solve('x^2+x*y+y','x^2-4*x+3 = 0')
x=
[ 1]
[ 3]
y=
[ 1 ]
[-3/2]
syms a u v
[u,v] = solve('a*u^2+v^2 = 0','u-v = 1')
u=
[1/2/(a+1)*(-2*a+2*(-a)^(1/2))+1]
[1/2/(a+1)*(-2*a-2*(-a)^(1/2))+1]
v=
[1/2/(a+1)*(-2*a+2*(-a)^(1/2))]
[1/2/(a+1)*(-2*a-2*(-a)^(1/2))]
syms a u v
» S =solve('a*u^2+v^2','u-v = 1', a,u)
S=
a: [1x1 sym]
u: [1x1 sym]
» S.a
ans =
-v^2/(v^2+2*v+1)
» S.u
ans =
v+1
» syms a u v
» [a,u,v] = solve('a*u^2+v^2','u-v = 1','a^2-5*a+6')
a=
[ 2]
[ 2]
[ 3]
[ 3]
u=
[ 1/3+1/3*i*2^(1/2)]
[ 1/3-1/3*i*2^(1/2)]
[ 1/4+1/4*i*3^(1/2)]
[ 1/4-1/4*i*3^(1/2)]
v=
[ -2/3+1/3*i*2^(1/2)]
[-2/3-1/3*i*2^(1/2)]
[-3/4+1/4*i*3^(1/2)]
[-3/4-1/4*i*3^(1/2)]
syms a u v
10
» A = solve('a*u^2+v^2','u-v = 1','a^2-5*a+6')
A=
a: [4x1 sym]
u: [4x1 sym]
v: [4x1 sym]
» A.a
ans =
[ 2]
[ 2]
[ 3]
[ 3]
» A.u
ans =
[ 1/3+1/3*i*2^(1/2)]
[ 1/3-1/3*i*2^(1/2)]
[ 1/4+1/4*i*3^(1/2)]
[ 1/4-1/4*i*3^(1/2)]
» A.v
ans =
[ -2/3+1/3*i*2^(1/2)]
[ -2/3-1/3*i*2^(1/2)]
[ -3/4+1/4*i*3^(1/2)]
[ -3/4-1/4*i*3^(1/2)]
10 . DSOLVE Решение ОДУ и их систем .
Функция r =dsolve(‘eg1’,’eg2’,…,’cond1’,’cond2’,…,’v’)вычисляет решение обыкновенных
дифференциальных уравнений eg1,eg2,…относительно независимой переменной v с
граничными или начальными условиями, определяемыми переменными cond1, cond2,...По
умолчанию в качестве независимой переменной принимается t. Символ D , за которым
следует цифра, означает повторное дифференцирование , т.е. D соответствует d/dt, а D2
соответствует d2/dt2 и т.д. . Символ, за оператором дифференцированья это зависимая
переменная, например D3y означает d3y/dt3. Имя зависимой переменной не должно быть
буквой D. Граничные или начальные условия задаются уравнениями вида y(a)=b,Dy(a)=b,
где у зависимая переменная, a и b константы. Если количество условий меньше количества
переменных, то решение включает произвольные константы C1,C2,…
Каждое уравнение или условие можно записать в виде отдельного аргумента, но не
более 12 .Если не указаны входные аргументы, dsolve возвращает список решений. Если
решение не найдено, dsolve возвращает предупреждение:
Warning: explicit solution could not be found and return an empty sym object.
(символьное решение не найдено, выход – пустая символьная переменная- [empty sym] ).
В этом случае для отыскания численного решения следует воспользоваться функциями
ode23(не жесткие ОДУ, метод низкого порядка) или ode45 (не жесткие ОДУ, метод 4-го
порядка)
Функция в форме r = dsolve (‘eg1,eg2,… ‘,’cond1,cond2,…’,’v’) позволяет объединить
несколько уравнений или условий в один аргумент. Результаты вычислений выдаются
тремя способами: для одного уравнения и одного аргумента решение выдается в виде
массива ячеек; для систем уравнений с числом аргументов, равному числу переменных,
решения выдается в алфавитном порядке по именам переменных; для систем уравнений с
одним аргументом решение выдается в виде массива записей.
Примеры:
» dsolve ('Dx = -a*x')
ans =
C1*exp(-a*t)
11
» x = dsolve ('Dx = -a*x','x (0) = 1','s')
x=
exp (-a*s)
» y = dsolve ('(Dy)^2+y^2 = 1','y(0) = 0')
y=
[ sin (t)]
[ - sin (t)] » S = dsolve ('Df = f+g','Dg = -f+g','f(0) = 1',’g (0) = 2')
S=
f: [1x1 sym ]
g: [1x1 sym ]
» S.f
ans =
exp (t)*(cos (t)+2*sin(t))
» S.g
ans =
-exp(t)*(sin(t)-2*cos(t)
dsolve('Df = f+sin(t)','f(pi/2) =0')
ans =
-1/2*cos(t)-1/2*sin(t)+1/2*exp(t)/(cosh(1/2*pi)+sinh(1/2*pi))
Решение ОДУ с граничными условиями:
» dsolve('D2y = -a^2*y','y(0) = 1,Dy(pi/a) = 0')
ans =
cos(a*t)
Решение систем ОДУ:
S =dsolve('Dx = y','Dy = -x','y(0) = 1')
S=
x: [1x1 sym]
y: [1x1 sym]
» S.x
ans =
-cos(t)*C1+sin(t)
» S.y
ans
-sin(t)*C1+cos(t)
S = dsolve('Du=v,Dv=w,Dw=-u','u(0)=0,v(0)=0,w(0)=1')
S=
u: [1x1 sym]
v: [1x1 sym]
w: [1x1 sym]
» S.u
ans =
1/3*3^(1/2)*exp(1/2*t)*sin(1/2*t*3^(1/2))-1/3*exp(1/2*t)*cos(1/2*t*3^(1/2))+1/3*exp(-t
» S.v
ans =
1/3*exp(1/2*t)*cos(1/2*t*3^(1/2))+1/3*3^(1/2)*exp(1/2*t)*sin(1/2*t*3^(1/2))-1/3*exp(» S.w
ans =
1/3*exp(-t)+2/3*exp(1/2*t)*cos(1/2*t*3^(1/2))
» w = dsolve('D3w = -w','w(0) = 1,Dw(0) = 0,D2w(0) = 0')
w = (1/3*exp(-t)+2/3*exp(1/2*t)*cos(1/2*t*3^(1/2))
f = dsolve('Df = f+sin(t)')
f= -1/2*cos(t)-1/2*sin(t)+exp(t)*C1
12
» y =dsolve('(Dy)^2+y^2 = 1','s')
y=
[
-1]
[
1]
[ sin(s-C1)]
[ -sin(s-C1)]
y = dsolve('Dy = a*y','y(0) = b')
y=
b*exp(a*t)
» [x,y] = dsolve('Dx = y','Dy = -x')
x=
cos(t)*C1+sin(t)*C2
y=
-sin (t)*C1+cos(t)*C2
11. Paбота с символьными массивами и матрицами.
Операции над массивами выполняются поэлементно, а операции над матрицами
определены в соответствии с правилами линейной алгебры. Операции над массивами
предшествует точка. Операции сложения и вычитания над матрицами и массивами дают
одинаковый результат. Аналитическая формула сложения:
C = А+Б = | aij bij | ,где i –я строка,
j-й столбец , формула вычитания : В + С = А
Сложение: А + Б. Вычитание: A – Б. в MATLAB
Слагаемые должны быть одинакового размера за исключением, когда одно из них скаляр;
скаляр добавляется ко всем элементам другого операнда при сложении и вычитается из
всех элементов другого операнда при вычитании.
n
Аналитическая формула умножения: cij a ik bkj
k 1
Например:
2 3 1 2 1
2 9 4 12 2 6
11 16 8
=С
5 1 3 4 2
5 3 10 4 5 2
8 14 7
Операция умножения матриц не обладает свойством коммутативности.
Например: имеем две матрицы А =
1 2
2 1
,B
3 4
3 2
Тогда АВ =
8 5
,
18 11
5 8
, откуда следует, что ABBA. При перемножении матриц А и В
9 14
Надо указывать порядок выполнения операций умножения; например, в случае
произведения АВ матрица В умножена на матрицу А слева, в случае ВА справа. Умножение
матриц: A * B. Умножение массивов: A.* B. в MATLAB. При умножении матриц или
матриц и векторов число столбцов первого сомножителя должно быть равно числу строк
второго. На скаляр умножаются все элементы сомножителя. Массивы умножаются
одинакового размера поэлементно. На скаляр умножаются все элементы сомножителя.
Решение систем линейных уравнений :A \ X = B; X / A = B; (левое, правое). Если А
квадратная матрица размера n n и B – матрица размера n k. Прямоугольные матрицы
допустимы, но уравнения должны быть совместны. Решение по методу наименьших
квадратов не вычисляется. Левое, правое деление массивов: A.\ B; A./B. Результатом
является массив элементов B(i,j) / A(i,j); массивы должны быть одинаковых размеров за
исключением, когда один из них скаляр. Степень матрицы: A^p. Если p – целое
положительное число, то степень матрицы вычисляется путем перемножения ее на себя;
если p-целое отрицательное число, то же самое относится к обратной матрице. Матрицей,
обратной по отношению к квадратной матрице А, называют такую квадратную матрицу А^-
ВА=
13
1 того же размера, для которой справедливо соотношение АA^-1 = A^-1A . Квадратная
матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю. В противном случае
называется невырожденной.
Только для невырожденной квадратной матрицы A
существует обратная матрица A^-1. Степень массива: A.^ B результатом является массив с
элементами A(i,j)^B(i,j); массивы должны быть одинаковых размеров кроме случая, когда
один из них скаляр. Транспонированной матрицей A’ для матрицы А размера m n
называется матрица размера n m, получаемая заменой строк столбцами.
Транспонирование матрицы: A’. Транспонирование массива: A.’ В MATLAB .
Примеры:
» syms a b c d;
» A = [a b; c d]
A=
[ a, b]
[ c, d]
» A*A/A
ans =
[ a, b]
[ c, d]
» A*A\A»
ans =
[ 1/(-b*c+d*a)*d, -1/(-b*c+d*a)*b]
[ -c/(-b*c+d*a), a/(-b*c+d*a)]
» syms a11 a12 a21 a22 b1 b2;
» A = [a11 a12;a21 a22];
» B = [b1 b2];
» X = B/A;
» x1 =X(1)
x1 =
-(-a22*b1+b2*a21)/(-a12*a21+a11*a22)
» x2 = X(2)
x2 =
(-a12*b1+a11*b2)/(-a12*a21+a11*a22)
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
12 DET Определитель матрицы.
Аналитическое нахождение определителя смотрите пункт 6а. Функция r = det (A)
вычисляет определитель символьной и числовой матрицы с результатом в символьном или
числовом виде соответственно.
Пример:
A = sym([9 1 3; -2 -2 1; 7 2 2])
A=
[ 9, 1, 3]
[ -2, -2, 1]
[ 7, 2, 2]
» r = det(A)
r=
-13
13 . POLY Характеристический полином матрицы.
СПРАВКА
Алгебраические элементарные функции, определенные формулами, содержащими конечное
число алгебраических или тригонометрических операций, производимых над аргументом,
14
функцией, постоянными путем сложения, вычитания, умножения, деления, возведением в
степень, извлечением корня, логарифмированием, взятием прямых или обратных
тригонометрических функций, называются целыми функциями или полиномами.
Функция p = poly (A) вычисляет коэффициенты характеристического полинома матрицы А.
Если матрица представлена в символьном виде, то и полином выдается в символьном виде,
используя по умолчанию переменную х.
Функция p = poly(A,v) позволяет указать независимую переменную.
Пример: A = gallery(3) ,где gallery – тестовая матрица в программе MATLAB
A=
-149 -50 -154
537 180 546
-27 -9 -25
» p = poly(A)
p=
1 -6 11 -6
» g = poly(sym(A))
g=
x^3-6*x^2+11*x-6
» s = poly(sym(A),sym('z'))
s=
z^3-6*z^2+11*z-6
14 .DIAG Формирование или извлечение диагоналей матрицы.
СПРАВКА
Вычисление определителя упрощается, если в матрице элементы, расположенные по одну
сторону от главной диагонали, равны нулю. Такой определитель называется определителем
треугольного вида. Из свойства матриц имеем: среди всех матриц размера n n существует
единственная, что ее произведение на произвольную квадратную матрицу А слева или
справа не изменит матрицу А АЕ = ЕА. Непосредственным умножением матрицы А на
матрицу Е можно проверить, что матрицей Е, удовлетворяющей указанному равенству,
является матрица, у которой элементы, расположенные на главной диагонали, равны
единице, а остальные равны нулю (единичная матрица). Для использования этих свойств
необходима проверка элементов матрицы по диагоналям.
Функция X =diag(v) формирует квадратную матрицу Х с вектором v на главной диагонали.
Функция Х = diag(v,k) формирует квадратную матрицу Х порядка length(v)+abs(k), где
length – длина вектора, abs – значение комплексного числа, c вектором v на k – й диагонали.
Функция v = diag(X) извлекает из матрицы Х главную диагональ.
Функция v = diag(X,k) извлекает из матрицы Х диагональ с номером k; при k 0, это
номер k-й верхней диагонали, при k 0 это номер k-й нижней диагонали.
Пример:
syms a b c
» v = [a b c]
v=
[ a, b, c]
» diag(v)
ans =
[ a, 0, 0]
[ 0, b, 0]
[ 0, 0, c]
» diag(v,-2)
ans =
[ 0, 0, 0, 0, 0]
15
[ 0, 0, 0, 0, 0]
[ a, 0, 0, 0, 0]
[ 0, b, 0, 0, 0]
[ 0, 0, c, 0, 0]
» syms x y z
» A = [a,b,c; 1,2,3; x,y,z]
A=
[ a, b, c]
[ 1, 2, 3]
[ x, y, z]
» diag(A)
ans =
[ a]
[ 2]
[ z] syms a b c
» A = [a,b,c; 1,2,3; a+1,b+2, c+3]
A=
[ a, b, c]
[ 1, 2, 3]
[ a+1, b+2, c+3]
» tril(A)
ans =
[ a, 0, 0]
[ 1, 2, 0]
[ a+1, b+2, c+3]
» tril(A,1)
ans =
[ a, b, 0]
[ 1, 2, 3]
[ a+1, b+2, c+3]
» tril(A,-1)
ans =
[ 0, 0, 0]
[ 1, 0, 0]
[ a+1, b+2, 0]
» diag(A,1)
ans =
[ b]
[ 3]
15 .TRIL Формирование нижней треугольной матрицы (массива)
Функция L = tril(X) сохраняет нижнюю треугольную часть матрицы Х. Функция
L = tril(X,k) сохраняет нижнюю треугольную часть матрицы Х начиная с диагонали с
номером k . При k 0 это номер k-й верхней диагонали, при k 0 это номер k-й нижней
диагонали.
Пример:
syms a b c
» A = [a,b,c; 1,2,3; a+1,b+2, c+3]
A=
[ a, b, c]
[ 1, 2, 3]
[ a+1, b+2, c+3]
16
» tril(A)
ans =
[ a, 0, 0]
[ 1, 2, 0]
[ a+1, b+2, c+3]
» tril(A,1)
ans =
[ a, b, 0]
[ 1, 2, 3]
[ a+1, b+2, c+3]
» tril(A,-1)
ans =
[ 0, 0, 0]
[ 1, 0, 0]
[ a+1, b+2, 0]
16 . TRIU Формирование верхней треугольной матрицы (массива)
Функция U = triu(X) сохраняет верхнюю треугольную часть матрицы (массива) X. Функция
U = triu(X,k) сохраняет верхнюю треугольную часть матрицы (массива) X начиная с
диагонали с номером k. При k 0 это номер k-й верхней диагонали, при k 0 это номер k-й
нижней диагонали.
» syms a b c
» A = [a,b,c; 1,2,3; a+1,b+2,c+3]
A=
[ a, b, c]
[ 1, 2, 3]
[ a+1, b+2, c+3]
» triu(A)
ans =
[ a, b, c]
[ 0, 2, 3]
[ 0, 0, c+3]
» triu(A,1)
ans =
[ 0, b, c]
[ 0, 0, 3]
[ 0, 0, 0]
» triu(A,-1)
ans =
[ a, b, c]
[ 1, 2, 3]
[ 0, b+2, c+3]
17. СПРАВКА. ( Ранги, миноры матрицы )
Имеем матрицу – систему из mn чисел, таблицу из m строк и n столбцов. Минором k-го
порядка матрицы ||А|| (k m, k n) называется определитель D, составленный с
сохранением порядка из k2 элементов матрицы, лежащих на пересечении некоторых ее k
столбцов и k строк. Рангом матрицы ||A|| называется наибольший порядок, который могут
иметь ее миноры, не обращающиеся в нуль. Для определения ранга матрицы следует
рассмотреть все ее миноры порядка f (где f – меньшее из чисел m,n, если m n или
f = m = n); если хотя бы один из них 0, то ранг ||A|| равен f; если все они = 0, то следует
рассмотреть все миноры порядка f-1 и т. д. Практически пользуясь правилом: если найден
17
минор k-го порядка Dk ,отличный от нуля, то остается вычислить только те миноры
(k+1)-го порядка, которые представляют собой “окаймление” Dk с двух возможных сторон,
образующих угол. Если все такие- то лучше переходить от миноров меньшего порядка к
минорам большего порядка. Если миноры (k+1)-го порядка равны нулю, то ранг матрицы
равен k .
Например:
минор 2-го порядка, стоящий в левом
2 4
3
1 0
1 2
1 1 2
2 4
||A|| =
верхнем углу, D2 =
1 2
0
1 1
3 1
4 7
4 4 5
4 3
Но в матрице||A|| есть минор 2-го порядка, не равный нулю: D’2 =
0.
2 1
2 4
3
Окаймляем его слева и снизу: D3 = 1 2
1 =1 0. Окаймляя D3 ( это
0
1 1
2 4
3
1
1 2
1 4
можно сделать лишь двумя способами), находим: D3 =
=0
0
1 1
3
4 7
4 4
2 4
3 0
1 2
1 2
и D’4 =
= 0 . Следовательно, ранг ||A|| = 3
0
1 1 1
4 7
4 5
18.RANK . Ранг целочисленной матрицы A .
пример: возьмем выше рассмотренную матрицу ||A||
» rank ([2 -4 3 1 0; 1 -2 1 -4 2; 0 1 -1 3 1; 4 -7 4 -4 5])
ans =
3
19 .COLSPACE. Базис пространства столбцов целочисленной матрицы
Функция B=colspace(A) формирует матрицу, столбцы которой являются базисом
пространства целочисленной матрицы А. Количество столбцов равно рангу матрицы А.
» B = colspace(sym(magic(4))) , где magic(4)- магический квадрат, введенный в MATLAB.
B=
[ 1, 0, 0]
[ 0, 1, 0]
[ 0, 0, 1]
[ 1, 3, -3]
20.NYLL . Нуль – пространство для целочисленной матрицы
Функция Z = null(A) формирует матрицу, столбцы которой являются базисом Нуль –
пространства целочисленной матрицы А. Количество столбцов матрицы Z определяет
размерность нуль – пространства. Произведение А*Z = 0. Если матрица А имеет полный
ранг, то Z –пустая.
Пример:
A = sym(magic(4));
» Z = null(A)
Z=
[ -1]
18
[ -3]
[ 3]
[ 1]
21.INV. Обращение символьной или целочисленной матрицы.
Функция R = inv(A) формирует матрицу, обратную матрице А.
Пример: выполним обращение целочисленной матрицы
» A = sym([2,-1,0; -1,2,-1; 0,-1,2])
A=
[ 2, -1, 0]
[ -1, 2, -1]
[ 0, -1, 2]»
» inv(A)
ans =
[ 3/4, 1/2, 1/4]
[ 1/2, 1, 1/2]
[ 1/4, 1/2, 3/4]
22. SVD. СПРАВКА. Сингулярное разложение символьной или целочисленной матрицы.
В евклидовом пространстве для линейного преобразования А существует сопряженное
преобразование А’, описывающее отображения, сопряженные заданному линейному
отображению одного линейного пространства в другое. Рассмотрим отображение
А: Еn Е m, где Еn и Еm –евклидовы пространства, и введем определения. Первым
сингулярным базисом отображения А называется ортонормированный базис в Е n,
состоящий из собственных векторов преобразования А’ А, если векторы базиса
упорядочены так, что соответствующие собственные значения не возрастают 1 n.
Таким образом, если r = Rg A, то i 0 при i r и j = 0 при j r. Пусть e1,…,en- первый
сингулярный базис А. Тогда (А(еi),А(еj)) = (А’А(еi), еj) = i(еi, еj). Отсюда следует, что
векторы А(еi) попарно ортогональны и |A(ei)| = i .Отсюда следует, что векторы А(еi) 0
при i r и А(еi) = 0 при i r . Числа i =
, где i – собственные преобразования А’A,
i
называются сингулярными числами отображения А, а также сингулярными числами
матрицы этого отображения. При i r векторы 1/i A(ei) образуют ортонормированную
систему в Еm. Дополнив ее до ортонормированного базиса f в Еm cделаем определение:
вторым сингулярным базисом отображения А является ортонормированный базис f в Еm ,
первые r векторов которого имеют вид 1/i А(еi), i = 1,…,r, где е1…,еn – первый
сингулярный базис , а r = RgA. Из определений видно ,что сингулярные базисы определены
неоднозначно. Теорема (приводится без доказательства): в паре сингулярных базисов
отображения А
Матрица этого отображения имеет вид:
0
А = Dr
0
0
Здесь Dr–квадратная диагональная матрица порядка r c числами i на диагонали, а
остальные элементы
А равны нулю. Теорема (приводится без доказательства):
произвольная матрица размеров m n. Может быть разложена в произведение GAP,где G и
P – ортогональные матрицы, А – выше приведенная матрица. Это разложение называется
сингулярным.
Функция sigma = svd(A) формирует вектор сингулярных чисел символьной матрицы А.
Функция sigma = svd(vpa(A)) вычисляет численное значение вектора сингулярных чисел
матрицы А, используя вычисления с заданной точностью по программе, устанавливающей
количество (d) значащих цифр результата digits (d) .
19
Функции [U,S,V] = svd(A) и [U,S,V] = svd(vpa(A)) вычисляют такие унитарные матрицы U и
V, а также диагональную матрицу S, содержащую сингулярные числа, что выполняется
разложение A = U*S*V. Такие разложения выдаются только в численном виде.
Пример: digits(4)
» A =sym(magic(4))
A=
[ 16, 2, 3, 13]
[ 5, 11, 10, 8]
[ 9, 7, 6, 12]
[ 4, 14, 15, 1]
» svd(A)
ans =
[
0]
[
34]
[ 2*5^(1/2)]
[ 8*5^(1/2)]
» svd(vpa(A))
ans =
[ .3108e-6*i]
[
4.472]
[
17.89]
[
34.00]
» [U,S,V] = svd(A)
U=
[ -.5000, .6708, .5000, -.2236]
[ -.5000, -.2236, -.5000, -.6708]
[ -.5000, .2236, -.5000, .6708]
[ -.5000, -.6708, .5000, .2236]
S=
[ 34.00,
0,
0,
0]
[
0, 17.89,
0,
0]
[
0,
0, 4.472,
0]
[
0,
0,
0, .8346e-15]
V=
[ -.5000, .5000, .6708, -.2236]
[ -.5000, -.5000, -2236, -.6708]
[ -.5000, -.5000, .2236, .6708]
[ -.5000, .5000, -.6708, .2236]
23. Справка: собственные векторы и собственные значения линейного преобразования.
В теории линейных преобразований часто используется понятие собственного вектора.
Ненулевой вектор х
линейного пространства называется собственным вектором
относительно линейного преобразования А, если Ах = kх, где k- некоторое число. Число k
называется собственным значением (числом) собственного вектора х для линейного
преобразования А. Собственное значение собственного вектора х определяется однозначно.
Действительно, предположим, что собственному вектору х соответствует два
различных собственных значения k и k1 , тогда из равенства kх = k1х следует, что
(k-k1)х = 0 ,но по определению собственный вектор не равен нулю, т. е. х 0, поэтому
k = k1. Матрица вида
20
а
11
А –kЕ =
а
k
21
...
а
n1
а
12
а
а
...
1n
а22 k ...
...
...
а
n2
...
2n
...
а
nn
k
называется характеристической матрицей матрицы А. Определитель характеристической
матрицы А – kЕ называется характеристическим многочленом матрицы А. Корни
характеристического многочлена матрицы называются характеристическими числами этой
матрицы .
24 EIG .Собственные значения и собственные векторы символьной матрицы. Функция
lambda = eig (A) формирует вектор lambda собственных значений символьной матрицы А.
Функция[V,D] = eig(A) возвращает матрицу первых собственных векторовV и
диагональную матрицу собственных значений. Если размер матрицы V совпадает с
размером матрицы А, то А имеет полную систему независимых собственных векторов и
выполняется спектральное разложение A*V = V*D . Функция [V,D,p] = eig(A) возвращает
также вектор индексов р, длина которого равна количеству линейно независимых векторов,
так что выполняется условие A*V = V*D(p,p).Функция lambda = eig (vpa(A)) и [V,D] =eig
(vpa(A)) вычисляет числа собственных значений и собственных векторов с переменной
точностью. Если матрица А не имеет полной системы собственных векторов, то столбцы
матрицы будут линейно зависимы.
Пример:
» R =sym (rosser) , где rosser – матрица Рессера в программе MATLAB .
R=
[ 611, 196, -192, 407, -8, -52, -49, 29]
[ 196, 899, 113, -192, -71, -43, -8, -44]
[ -192, 113, 899, 196, 61, 49, 8, 52]
[ 407, -192, 196, 611, 8, 44, 59, -23]
[ -8, -71, 61, 8, 411, -599, 208, 208]
[ -52, -43, 49, 44, -599, 411, 208, 208]
[ -49, -8, 8, 59, 208, 208, 99, -911]
[ 29, -44, 52, -23, 208, 208, -911, 99]
» eig (R )
ans =
[
0]
[
1020]
[ 510+100*26^(1/2)]
[ 510-100*26^(1/2)]
[ 10*10405^(1/2)]
[ -10*10405^(1/2)]
[
1000]
[
1000]
eig (vpa(R))
ans =
[ -1020.0490184299968238463137913055]
[ .56512999999999999999999999999800e-28]
[ .98048640721516997177589097485157e-1]
[ 1000.0000000000000000000000000002]
[ 1000.0000000000000000000000000003]
[ 1019.9019513592784830028224109024]
[ 1020.0000000000000000000000000003]
[ 1020.0490184299968238463137913055]
21
25 . СПРАВКА: понятие о канонической форме Жордана.
Не всякую матрицу можно привести к диагональному виду линейным преобразованием.
Удобно выделить класс матриц простейшего вида, к которому можно было бы привести
путем некоторых линейных преобразований любую матрицу. Рассмотрим квадратную
матрицу размера n n, элементы главной диагонали которой равны числу k0, элементы
ai i+1 (i =1,2,…, n-1) – единицы, а все остальные элементы – нули. Такая матрица называется
клеткой Жордана порядка
k0 1 0 ... 0
0
0
...
0
k
0
0
...
0
1
k
0
...
0
...
...
...
...
0
0
...
k
N,отвечающей собственному значению k0 .
0
Жордановой матрицей называется клеточно – диагональная матрица, в которой
2 1 0 0 0 0 0 0 0
0 2 0 0 0 0 0 0 0
0 0 2 1 0 0 0 0 0
0 0 0 2 0 0 0 0 0
на главной диагонали стоят клетки 0 0 0 0 3 1 0 0 0 Жордана,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2 1
а элементы вне этих клеток равны нулю . 0 2
0
0
0
0
3
0
0
0
1
3
0
0
2 1
0 2
0
0
3
0
0
0
0
1
3 1 0
0 3 1 |3||1|0 0 3
клетки Жордана .Таким образом всякой числовой матрицы А существует подобная ей
Жорданова матрица J, т.е. существует такая невырожденная матрица С , что J = C -1 A C .
Следует заметить, что одному и тому же собственному значению может соответствовать
несколько клеток Жордана различного размера. Матрицы записанные в жордановой форме
используются при решении систем линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами .
26 JORDAN. Каноническая форма Жордана символьной матрицы.
Функция l = jordan (A) Вычисляет каноническую форму Жордана для символьной или
числовой матрицы А. Матрица А должна быть задана точно, то есть ее элементы должны
быть целыми или рациональными числами. Функция [V,J] = jordan(A) вычисляет как
каноническую форму Жордана, так и матрицу подобного преобразования, столбцы которой
являются обобщенными собственными векторами, так что выполняется соотношение
V\A*V = j.
Пример:
R = sym (gallery('chebspec',4)); где сhebspec –матрица Чебышева в программе
» [V,J] = jordan(R^2)
MATLAB
V=
[ 116/15, 1/5, 12/5, -4/5]
[ 10/3,
0,
0,
0]
[ -82/15,
1, -24/5,
1]
[ -148/15,
0, -36/5,
0]
J=
[ 0, 1, 0, 0]
22
[ 0, 0, 0, 0]
[ 0, 0, 0, 1]
[ 0, 0, 0, 0]
Выполним проверку разложения в арифметике с плавающей запятой удвоенной точности:
V =double(V)
V=
7.7333
0.2
2.4
-0.8
3.3333
0
0
0
-5.4667
1
-4.8
1
-9.8667
0
-7.2
0
» V\(R^2)*V
ans =
[ 0, 1, 0, 0]
[ 0, 0, 0, 0]
[ 0, 0, 0, 1]
[ 0, 0, 0, 0]
27. EXPM. Матричная экспонента .
Функция expm(A) вычисляет экспоненту от символьной матрицы А.
Пример: вычислим функцию expm(X*T) для произвольного значения T:
syms T
» X = sym(gallery('chebspec',4));
» expm(X*T)
ans =
[ 1+19/6*T+8/3*T^2+2/3*T^3, -4/3*T^3-14/3*T^2-4*T, 4/3*T^3+10/3*T^2+4/3*T, -2/3*T^34/3*T^2-1/2*T]
[T+5/3*T^2+2/3*T^3, 1-4/3*T^3-8/3*T^2-1/3*T, 4/3*T^3+4/3*T^2-T, -2/3*T^31/3*T^2+1/3*T]
[-1/3*T-1/3*T^2+2/3*T^3, -4/3*T^3+4/3*T^2+T, 1+4/3*T^3-8/3*T^2+1/3*T,2/3*T^3+5/3*T^2-T]
[1/2*T-4/3*T^2+2/3*T^3, -4/3*T^3+10/3*T^2-4/3*T, 4/3*T^3-14/3*T^2+4*T, 12/3*T^3+8/3*T^2-19/6*T]
» digits(4)
» expm(vpa(X*1/10))
ans =
[ 1.344, -.4480, .1680, -.6400e-1]
[ .1173, .9387, -.8534e-1, .2933e-1]
[ -.3600e-1, .1120, 1.008, -.8400e-1]
[ .3734e-1, -.1013, .3547, .7093]
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ.
Неэлементарные функции, имеющие теоретическое или практическое значение называются
специальными. Им придаются особые названия и обозначения.
28. Функции интегрального косинуса и синуса.
cos x
Интегральный косинус, – определенный интеграл y =
d x . Обозначается
x
x
x2
x4
x6
..., где С –эйлерова постоянная = 0,5772
У = Ci x =C – ln x 2 * 2! 4 * 4! 6 * 6!
COSINT. Функция cosint(z) вычисляет интегральный косинус от символьной или числовой
матрицы А, которая может быть и комплексной.
23
Пример:
Вычислить значение интегрального косинуса в точке z =pi и значения функции в интервале
[0…1] с шагом 0,1:
cosint(pi)
ans =
0.073668
» cosint([0:0.1:1])
ans =
Columns 1 through 6
Inf -1.7279
-1.0422 -0.64917 -0.37881 -0.17778
Columns 7 through 11
-0.022271
0.10051
0.19828
0.27607
0.3374
x
Интегральный синус- определенный интеграл
sin t
dt .
t
0
x3
x5
x7
...
3 * 3! 5 * 5! 7 * 7!
Функция Y =sinint(Z) вычисляет интегральный синус от символьной или числовой матрицы
А, которая может быть и комплексной .
Пример:
sinint(p
ans =
1.8519
» sinint([0:0.1:1])
ans =
Columns 1 through 6
0 0.099944
0.19956
0.2985
0.39646
0.49311
Columns 7 through 11
0.58813
0.68122
0.7721
0.86047
0.94608
Обозначается у =Si(x) = x-
29. LAMBERTW W – функция Ламберта
Уравнения F(x) = f(x) называются трансцендентными, если хотя бы одна из функций F(x)
или f(x) не является алгебраической. Функция W = lambertw(X) находит решение
трансцендентного уравнения вида W*exp (w) = x, называемое W- функцией Ламберта.
Функция W = lambertw(k,X) находит k-ю комплексную ветвь многозначной функции w(x).
x=[1,10:10:50];
» y1=lambertw(1,x);
» y2=lambertw(2,x);
» plot(y1),hold on,plot(y2)
12
11
10
9
8
7
6
5
4
-3
-2
-1
0
1
2
3
24
30. ZETA Дзета – функция Римана
Аналитическое выражение функции - (s) =
k
-s
, Re(s)0 Функция Y = zeta(X) вычисляет
k 1
Y = zeta(n,X) находит n –ю производную - функции.
Пример:
Вычислить и построить -функции Римана для комплексных значений аргумента
s = i+а1, 2*i+a2 .
a1=[1 1.2 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5:10];
» y1=zeta(i+a1);
» a2=[1.0 1.2 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0 10.0];
» y2=zeta(2*i+a2);
» plot(real(y1),imag(y1)),grid,hold on,plot(real(y2),imag(y2))
a1=[1 1.2 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5:10];
» y1=zeta(i+a1);
» a2=[1.0 1.2 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0 10.0];
» y2=zeta(2*i+a2);
» plot(real(y1),imag(y1)),grid,hold on,plot(real(y2),imag(y2))
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
-0.6
-0.7
-0.8
-0.9
-1
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
31. FOURIER Преобразование Фурье.
CПРАВКА.
Eсли функция f(x) на любом конечном интервале удовлетворяет условиям Дирихле, т. е.
a) интервал, на котором функция определена, может быть разбит на конечное число
интервалов, в каждом из которых f(x) непрерывна и монотонна;
б) во всякой точке разрыва f(x) существует при х = а предел А слева, если функция
подходит как угодно близко к А при возрастающих значениях х, приближающихся к а, это
условие принято обозначать: A = f(a – 0); если функция имеет при х = аФ предел А справа,
т.е. подходит как угодно близко к А при убывающих значениях х, приближающихся к а, то
принято обозначение : A = f(a + 0) . Pяд Фурье в этой функции сходится, и сумма его равна
f(x - 0) f(x 0)
f(x) в точках непрерывности , а точках разрыва она равна
. Таким образом
2
интеграл с бесконечными пределами
| f(x) | dx
сходится и имеет место формула (интеграл
Фурье):
f(x)
=
1/2pi
e
-
iut
du f ( t)
iux
dt =1/pi du f ( t ) cos n( t x )dt.
Интеграл
представляет функцию f(x) в виде суммы бесконечно большого числа колебаний с
25
непрерывно меняющейся частотой u; интеграл дает разложение функции в непрерывный
спектр, при этом частота u соответствует плотности спектра
F(iu) = 1/2pi
f(t) e
-iut
dt
Совокупность операций, позволяющих по заданной функции f(t) находить ей
соответствующую спектральную характеристику F(iu), называется преобразованием Фурье.
Функция F = fourier(f) вычисляет преобразование Фурье символьной скалярной функции f
от независимой переменной, определяемой функцией findsym (по умолчанию х).
Преобразование Фурье F является функцией переменной w (по умолчанию). Таким
образом, справедлива цепочка: f = f(x) F = F(w). Если для функции f определена
переменная w, т.е. f=f(w), то аргумент возвращаемой функции будет t т. е. F = F(t).
Преобразование Фурье в программе MATLAB происходит в принятой символике:
F(w) = f(x)e
iwx
dx . Функция F = fourier(f,v) заменяет аргумент возвращаемой функции
(по умолчанию w) на v, т.е. вычисляется преобразование F(v) =
f(x)e
ivx
dx . Функция
-
F = fourier(f,u,v) заменяет аргумент исходной функции (по умолчанию x) на u , а аргумент
возвращаемой функции ( по умолчанию w) – на v, т.е. вычисляется преобразование:
F(v) =
f(u)e
ivu
du
Пример: вычислить преобразование Фурье для аргументов, используемых по
умолчанию:
clear
» syms x f F
» f = exp(-x^2);
» ezplot(exp(-x^2),[-5 5]),grid
exp(-x2)
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-5
0
x
5
p 1/2 exp(-1/4 w2)
1.8
F = fourier(f)
F=
pi^(1/2)*exp(-1/4*w^2)
» ezplot(F,[-5 5]),grid
Aргумент исходной функции –w:
syms g w
» g= exp(-abs(w))
g=
exp(-abs(w))
» F=fourier(g)
F=
2/(1+t^2)
Аргумент возвращаемой функции –x:
syms u
» f=x*exp(-abs(x))
f=
x*exp(-abs(x))
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-5
0
w
5
26
» F = fourier(f)
F=
-4*i/(1+w^2)^2*w
Аргумент исходной функции –w, аргумент возвращаемой функции –x:
syms x real
» f = exp(-x^2*abs(w))*sin(w)/w
f=
exp(-x^2*abs(w))*sin(w)/w
» F=fourier(f,w,x)
F=
-atan(x-1)+atan(x+1)
32 . IFOURIER. Обратное преобразование Фурье.
СПРАВКА .
Формула интеграла Фурье f(t) = 1/2pi
F(iu)e
iut
du позволяет по известной функцииF(iu)
определить ей соответствующую функцию f(t) . эта математическая операция называется
обратным преобразованием Фурье .Функция f=ifourier(F) обратное преобразование Фурье
символьной скалярной функции F от независимой переменной, определяемой функцией
findsym (по умолчанию w) Обратное преобразование Фурье f является функцией
переменной x (по умолчанию) .Справедлива цепочка: F = F(w)
функции F определена переменная х, т. е. F = F(x), то аргумент возвращаемой функции
будет t, т.е. f = f(t).
Математически обратное преобразование программой MATLAB выражено в следующих
символах: f(x) = 1/2pi
F(w)e
iwx
dw . Функция f = ifourier(F,u) заменяет аргумент
возвращаемой функции (по умолчанию x)
преобразование: f(u) = 1/2pi
F(w)e
iwu
на u, т. е. вычисляется следующее
dw . Функция f = ifourier(F,v,u) заменяет аргумент
исходной функции (по умолчанию w) на v,а аргумент возвращаемой функции(по
умолчанию х)- на u ,т. е. вычисляется преобразование:
f(u) = 1/2pi
F(v)e
ivu
a exp(-x2 a2)/p 1/2 = 0
dv .
30
20
10
x
Пример:
clear
» » syms w f F
» syms a real
» F = exp(-w^2/(4*a^2));
» f = ifourier(F);
» f = simple(f)
f=
a*exp(-x^2*a^2)/pi^(1/2)
ezplot(f,[-30 30]), grid
0
-10
-20
-30
-30
-20
-10
0
a
10
20
30
Аргумент исходной функции –х:
syms g x
» g = exp(-abs(x));
» ifourier(g)
ans =
27
1/(1+t^2)/pi
Аргумент возвращаемой функции – t:
syms w t F f
» F = 2*exp(-abs(w))-1;
» f = simple(ifourier(F,t))
f=
-(-2+pi*Dirac(t))/(1+t^2)/pi
Аргумент исходной функции –v, аргумент возвращаемой функции –t:
» syms v
» syms w real
» F = exp(-w^2*abs(v))*sin(v)/v;
» f = ifourier(F, v, t)
f=
1/2*(atan((t+1)/w^2)-atan((t-1)/w^2))/pi
33. LAPLACE . Преобразование Лапласа .
СПРАВКА .
Пусть задана некоторая функция f(t) действительной переменной t , такая что для неё
существует преобразование Лапласа (L-преобразование) L[f(t)] =F(s)= f(t)e dt , т.е.
-st
интеграл этого равенства является сходящимся. Используя L –преобразование, можно
каждой преобразуемой по Лапласу функции f(t), которая в этом случае называется
“оригиналом” поставить в соответствие функцию F(s) комплексной переменной s , которая
будет называться
“изображением” функции f(t) .Преобразование обладает рядом
замечательных свойств. Например, дифференцированию оригинала f(t) по переменной t
соответствует операция умножения изображения F(s)на комплексную переменную s, а
интегрированию оригинала f(t)соответствует операция деления F(s) на s. Таким образом,
операции дифференцирования и интегрирования оригинала заменяются в пространстве
изображений оригинала более простыми операциями алгебры. Это позволяет
дифференциальное уравнение, записанное относительно искомой функции f(t),заменить в
пространстве изображений на алгебраическое уравнение относительно изображения F(s)
=L[f(t)]. Решив это алгебраическое уравнение и найдя F(s), мы получим изображение
решения исходного дифференциального уравнения. Функция L = laplase(f) вычисляет
преобразование Лапласа символьной скалярной функции f от независимой переменной,
определяемой функцией findsym (по умолчанию). Преобразование Лапласа L является
функцией переменной s (по умолчанию).Таким образом, справедлива цепочка:
f = f(t)
возвращаемой функции будет t, т.е. L = L(t). Математически преобразование Лапласа
программой MATLAB выражено в следующих символах: L(s) =
st
f(t)e
dt . Функция
L = laplace(f,v) заменяет аргумент возвращаемой функции (по умолчанию s ) на v, т.е.
вычисляется преобразование:
L(v) =
f(t)e
- vt
dt . Функция L = laplace(f,u,v) заменяет
аргумент исходной функции ( по умолчанию) на u, а аргумент возвращаемой функции (по
умолчанию s) –на v, т.е. вычисляется преобразование: L (v) =
f(u)e
- vu
du .
Пример: вычислить преобразование для аргументов, используемых по умолчанию:
syms a s t w x v
» L = laplace(t^4)
28
L=
24/s^5
Аргумент возвращаемой функции –v:
L = laplace(sin(w*x),v)
L=
w/(v^2+w^2)
Aргумент исходной функции-w,аргумент возвращаемой функции-t:
» L = laplace(cos(x*w),w,t)
L=
t/(t^2+x^2)
Найти аналитическое выражение преобразования производной функции f(t) :
L = laplace(diff(sym('f(t)')))
L=
s*laplace(f(t),t,s)-f(0)
34. ILAPLACE. Обратное преобразование Лапласа .
СПРАВКА (читайте п. 33)
Для определения решения исходного уравнения можно воспользоваться обратным
преобразованием Лапласа ( L-1 –преобразованием) устанавливающим связь между
изображением F(s) и ему соответствующим оригиналом f(t):
c i
F(t) = L-1 [F(s)] = 1/2pi i
F(s)e dt, t 0 , где с = Res .
st
c i
Во многих случаях при нахождении решения f(t) можно избежать вычисления этого
интеграла, воспользовавшись таблицей соответствий «оригинал – изображение» (см .
Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. 1966).
Функция f = ilaplace(L) обратное преобразование Лапласа символьной скалярной функции L
от независимой переменной, определяемой функцией findsym (по умолчанию s). Обратное
преобразование Лапласа f является функцией переменной t (по умолчанию). Таким
образом, справедлива цепочка: L = L(s) f = f(t). Если для функции L определена
переменная t, т.е. f = L(t), то аргумент возвращаемой функции будет х, т.е. f = f(x).
Математически обратное преобразование Лапласа в программе MATLAB выражено в
c i
следующих символах: f(t) = 1/2pi i
L(s)e ds ,где с – действительное число. Функция
sl
c i
f = ilaplace(L,u) заменяет аргумент возвращаемой функции (по умолчанию t) на u, т.е.
c i
вычисляется преобразование: f(u) = 1/2pi i
L(s)e ds .
su
Функция
f = ilaplace(L,v,u)
c i
заменяет аргумент исходной функции (по умолчанию s) на v, а аргумент возвращаемой
функции ( по умолчанию t )- на u, т.е. вычисляется преобразование
c i
F(u) = 1/22pi i
L(v)e
vu
dv .
c i
Пример: обратное преобразование для аргументов, используемых по умолчанию .
syms L s f
» l = 1/s^2;
» f = ilaplace(L)
f=
Dirac(1,t)
Аргумент исходной функции –v, аргумент возвращаемой функции - х:
syms L v x f
29
» syms s real
» L = s^3*v/(s^2+v^2);
» f = ilaplace(L,v,x)
f = s^3*cos(s*x)
clear
ezplot(‘s^3*cos(s*x)’,[-10 10]),grid
s3 cos(s x) = 0
10
8
6
4
x
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-10
-5
0
s
5
10
ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА.
35. ZTRANS . Z – преобразование .
СПРАВКА:
Наряду с функциями, определенными на всей вещественной прямой t, можно
рассматривать функции, которые определены только в некоторых точках t 1, t2,.. Такие
функции называются решетчатыми. Если рассматривать функции, определенные только в
равноотстоящих точках t = nT, где n – любое целое число, а Т- постоянная, называемая
периодом дискретности. Эти функции принято обозначать f [nT].
f [nT ]
-3T –2T -T
0
T 2T 3 T
nT
Любой непрерывной функции f(t) можно поставить в соответствие некоторое множество
решетчатых функций, если представить переменную t в виде t = nT + 1) . При
каждом фиксированном значении переменной функцию f = (nT+T) можно рассматривать
как решетчатую функцию, определенную в точках T, (+1)T,( +2)T, … Такие функции
называются смещенными решетчатыми функциями. Для них принято обозначение F
(nT+T) = f [nT, T ]. Изменяя переменную в пределах от нуля до единицы, можно
получить множество смещенных решетчатых функций f [nT,T], соответствующих данной
непрерывной функции f(t). Благодаря непрерывности функции f(t) функция
f [nT, T] является непрерывной по аргументу и удовлетворяет условию
f [(n-1)T, T] = f [nT, 0]. Выражение Δf [n] = f [n+1]- f [n] называется конечной разностью
первого порядка решетчатой функции. Первая разность от решетчатой функции Δf [n ]
называется разностью второго порядка, т.е. Δ2 f [n] = Δ f [n+1] – Δ f[n]. Разность k –го
порядка решетчатой функции f[n] будет Δk f [n] = Δk –1 f [n+1] – Δk –1 f [n]. Всякое
соотношение, связывающее решетчатую функцию и ее разности до некоторого порядка k,
называется разностным уравнением. В задачах, связанных с решетчатыми функциями и
разностными уравнениями, используется преобразование, определяемое формулой
e
F(g) =
-gn
f [ n ] , где: g = σ + j ώ – комплексная переменная. Функция F(g) определяемая
n 0
этой формулой называется изображением дискретного преобразования Лапласа и
обозначается F(g) = D {f[n]}. Дискретное преобразование может быть определено и для
смещенных решетчатых функций в соответствии с формулой F(g, ) = D {f [n, ]} =
e
gn
f [ n, ] , где параметр принимает значения на отрезке [0, 1] . Если в формулу D –
n 0
преобразования ввести новую переменную z = eg, то такое преобразование будет называться
30
z – преобразованием
и
записывается формулой F (z) =
z
n
f [ n ] . Функция
n 0
F = ztrans(f) вычисляет z – преобразование символьной скалярной функции f от
независимой переменной, определяемой функцией findsym (по умолчанию n). Z –
преобразование F является функцией переменной z (по умолчанию). Таким образом,
справедлива цепочка: f = f(n) F = F(z) . Если для функции f определена переменная z , то
есть f =f (z), то аргумент возвращаемой функции будет w, т.е. F = F(w). Математически z –
f(n)
преобразование в программе MATLAB выражено в следующей символике:F(z) = n .
n0
z
Функция F = ztrans (f,v) заменяет аргумент возвращаемой Функции(по умолчанию z) на v, т.
f(n)
е. вычисляется преобразование F(v) = n . Функция F = ztrans (f,k,v) заменяет аргумент
n0
v
исходной функции (по умолчанию n) на k , а аргумент возвращаемой функции (по
f (k)
умолчанию z)- на v, т. е. вычисляется преобразование: F (v) = k .
k 0
v
Пример: вычислить z-преобразование для аргументов, используемых по умолчанию:
» syms F f n
» f = n^4;
» F = ztrans(f)
F=
z*(z^3+11*z^2+11*z+1)/(z-1)^5
Аргумент исходной функции – z:
syms a real
» syms z
» f = a^z;
» f = ztrans(f)
f=
w/a/(w/a-1)
Аргумент возвращаемой функции – w:
syms a real
» syms z
» f = a^z;
» f = ztrans(f)
f=
w/a/(w/a-1)
Аргумент исходной функции –k, аргумент возвращаемой функции –х:
syms k x
» syms n real
» f = exp(k*n^2)*cos(k*n);
» F = ztrans(f,k,x)
F=
(x/exp(n^2)-cos(n))*x/exp(n^2)/(x^2/exp(n^2)^2-2*x/exp(n^2)*cos(n)+1)
36.IZTRANS . Обратное Z – преобразование.
СПРАВКА, (читайте п. 35)
Можно выполнить преобразование, обратное по отношению к дискретному
преобразованию Лапласа. Оно определяет решетчатую функцию f[n] по заданному
изображению F(g): f [n] = D –1{F(g)} (n 0);D –1 – преобразование определяется формулой
31
c ipi
f(n) = 1/2pi i
F(g)e
gn
dg (n 0) Вычисление оригиналов f[n] можно производить в z –
c ipi
преобразовании путем замены переменной z = e g , в символах программы MATLAB это
n 1
будет:
f[n] = 1/2pi i Fz (z ) z dz , n =1,2,… R –положительное число, такое, что
|z| R
функция Fz(z) аналитична и вне круга |z| =R . Функция f = iztrans(F) вычисляет обратное z –
преобразование символьной скалярной функции А от независимой переменной,
определяемой функцией findsym (по умолчанию z). Обратное Z – преобразование f является
функцией переменной n (по умолчанию). Таким образом справедлива цепочка:
F = F(z) f = f(n) . если для функции F определена переменная n ,т.е. F = F(n), то аргумент
возвращаемой функции будет k, т.е. f = f(k). Функция f = istrans (F,k) заменяет аргумент
возвращаемой функции (по умолчанию n) на k, т.е. вычисляется преобразование:
f(k) = 1/2pi i
F(z)z
k -1
dz , k = 1,2,…
|z| R
Функция f = istrans(F,v,k) заменяет аргумент исходной функции (по умолчанию z) на v, а
аргумент возвращаемой функции ( по умолчанию n) – на k ,т.е. вычисляется
преобразование: f(k) = 1/2pi i
F(v)v
k -1
dv , k = 1,2,…
|v|R
Пример: вычислить обратное z – преобразование для аргументов, используемых по
умолчанию:
syms z f F
» F = 2*z/(z-2)^2;
» f = iztrans(F)
f=
2^n*n
Аргумент исходной функции – n:
syms n
» F = n*(n-1)/(n^2+2*n+1);
» f = iztrans(F)
f=
(-1)^k+2*(-1)^k*k
» f = (-1)^k*(1+2*k)
f=
(-1)^k*(1+2*k)
Аргумент возвращаемой функции – k:
syms z a k
» F = z/(z-a);
» f = iztrans(F,k)
f=
a^k
Аргумент исходной функции –х, аргумент возвращаемой функции –k ;
syms z real
» syms x a
» F = z/(z-a);
» f = iztrans(F,x,k)
f=
-charfcn[0](k)*z/(-z+a)
32
ГРАФИЧЕСКИЕ И ИНТЕРАКТИВНЫЕ СРЕДСТВА.
37.EZPLOT. Построение графика символьной функции.
Функция ezplot(f) строит график символьной функции f от одной переменной . Переменная
должна быть объявлена символьной с помощью команды syms. Диапазон изменения
переменной по умолчанию принят равным [2pi -2pi]. Функция ezplot(‘f’) и команда ezplot f
строят график символьной и вещественной функции f от одной переменной. Функция
ezplot(f,[xmin xmax]) строят график символьной функции f на заданном интервале
изменения переменной. Функция ezplot(‘f’,[xmin xmax]) и команда ezplot f [xmin xmax]
позволяют выполнить то же самое для символьной и вещественной функции.
Функция ezplot(f, [ xmin xmax ], fign) и ezplot(‘f’,[xmin xmax], fign) строят графики
символьной функции f на заданном интервале изменения переменной в окне с номером fign
.
Пример: способ вызова функции и команды ezplot позволяют построить график
clear
» syms x
» ezplot('(2*x^2+3*x-4)/x^2',[-10 10]),grid
(2 x2+3 x-4)/x2
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-10
-5
0
x
5
10
38. FUNTOOL. Интерактивный графический калькулятор.
Команда funtool вызывает специальный графический калькулятор для выполнения
манипуляций с двумя функциями f(X) и g(X) от одной переменной. После выполнения той
или иной операции замещается функция f(x). В калькуляторе имеются 3 окна, два из них
предназначены для вывода графиков, а третье для управления: с четырьмя строками для
записи функций f и g, переменной х и параметра а . В начальном состоянии команда funtool
выводит по умолчанию графики функций : f(x) =x и g(x) = 1. При этом интервал
изменения переменной х = [-2*pi, 2*pi ]. При внесении любых изменений в текстовые поля
графики функций f и g перерисовываются. Имеется панель управляющих кнопок, которые
позволяют выполнять операции над функциями f и g. Верхний ряд относится только к
функции f(x)
df/dx
- символьное дифференцирование ,
int f
- символьное интегрирование ,
simple f - упрощение символьных выражений ,
num f
- выделить числитель рационального выражения ,
den f
- выделить знаменатель рационального выражения ,
1/f
- заменить функцию f(x) на 1/f(x) ,
finv
-построить обратную функцию .
Операции int (f) и вычисления finv могут быть не выполнимыми, поскольку может не
существовать их представления в замкнутой форме. Второй ряд выполняет операции
масштабирования и сдвига функции от параметра а
f+a
- заменить функцию f(x) на f(x) + a ,
f–a
- -------------------------------- f(x) – a ,
f*a
- -------------------------------- f(x) * a ,
f/a
- -------------------------------- f(x) / a ,
f^a
- -------------------------------- f(x) ^ a ,
33
f(x + a) - -------------------------------- f(x + a),
f(x * a) - -------------------------------- f(x * a) .
Третий ряд позволяет выполнять бинарные операции с функциями f(x) и g(x)
f+g
- заменить функцию f(x) на f(x) + g (x) ,
f–g
- -------------------------------- f(x) – g (x) ,
f*g
- -------------------------------- f(x) * g(x) ,
f/g
- -------------------------------- f(x) / g(x) ,
f (g)
- -------------------------------- f (g (x)),
g = f - заменить функцию g(x) на f (x),
swap - поменять местами функции g(x) и f(x) .
Четвертый ряд позволяет накапливать и извлекать из памяти список использованных
функций .
Insert – поместить текущую функцию в список ,
Cycle – выполнить текущую функцию из списка ,
Delete – удалить активную функцию из списка ,
Reset – установить f,g,x,a и fxlist в начальное состояние ,
Help – вывести текст описания команды funtool ,
Demo – запустить демонстрационный пример ,
Close – завершить работу с калькулятором .
Список функций имеет имя fxlist и по умолчанию включает ряд функций, которые можно
посмотреть , нажимая кнопку Cycle .
39. RSUMS . Вычисление сумм Римана .
Функция rsums(f) и команда rsums f вычисляет риманово приближение к интегралу от
функции f(X) и выводит на терминал графическое окно, в котором отображается график
функции, и столбцевую диаграмму площади под кривой. Горизонтальный движок
управляет количеством интервалов на отрезке от 2 до 256 .
Пример :
x : 0.550000
syms x
1
0.9
» f = 10*x*exp(-5*x^2);
0.8
» vpa(int(f,0,1),6)
0.7
ans =
0.6
.993262
0.5
» rsums f
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
10
ПАКЕТ ПРОГРАММ.
40 БАЗОВЫЕ ОПЕРАЦИИ SYM . Формирует символьную переменную или объект.
Функция s = sym(A) cоздает объект класса ‘sym’ для входного аргумента А.
Если А - строка символов, то результатом будет последовательность символов.
Если А – строка цифр, то результатом будет число, описываемое символьной переменной
S.Если А – числовой массив, то результатом будет символьный эквивалент этого объекта.
Функция х =sym(‘x’) создает символьную переменную х.
Функция x = sym(‘x’,’real’) создает символьную переменную х, которая во всех операциях
будет рассматриваться, как переменная принимающая только действительные значения до
тех пор, пока ей не будет присвоено другое значение
Например: значение комплексного числа .
34
Функция x = sym(‘x’,’unreal’) создает символьную переменную х, которая является
формальной переменной без дополнительных ограничений.
Операторы вида delta = sym (‘1/10’) и pi = sym (‘pi’) формируют символьное
представление чисел 1/10 и pi, избегая их представления в арифметике с плавающей
точкой.
Функция S = sym (A, flag) преобразует числовой массив А в символьную форму,
используя аргумент flag для указания символьной переменной S.
Возможно задание следующих типов :
‘f’ – число с плавающей точкой; формат ‘1,F’ * 2^(e), где F – строка из 13
цифр, е – целое число
‘r’ – рациональное число; формат p/g или p*2^g, где p и g – целые числа.
‘e’ – рациональное число с оценкой погрешности представления; формат
p*g^2 – r*eps/s, где p,g r и s – целые числа
‘d’ – десятичное число; формат p.g, где р – целая часть, g – мантисса; количество знаков
полного числа или мантиссы определяется функциями vpa и digits
Примеры:
» sym(1/10,'f'’)
ans =
'1.999999999999a'*2^(-4)
» sym(4/3,'r')
ans =
4/3
» sym(3*pi/4,'e')
ans =
3*pi/4-103*eps/249
» sym(4/3,'d')
ans =
1.3333333333333332593184650249896
41. SYMS Формирует группу символьных объектов .
Имя каждого входного аргумента должно начинаться с буквы и включать только
буквы и цифры.
42. FINDSYM Составляет список символьных переменных
Функция findsym(S) возвращает в алфавитном порядке все символьные переменные
выражения S, отделяя их запятой. Если в выражении нет символьной переменной
возвращается пустая строка.
Функция findsym(S,n) возвращает n переменных, ближайших к x .
Пример:
» a = 1;
» syms x y w t
» findsym(x+i*y-j*w)
ans =
w, x, y
43. REAL, IMAG действительная и мнимая часть символьной переменной
Для массивов символьных комплексных чисел Z функция real(Z) возвращает массив
действительных чисел, функция imag(Z) – массив мнимых чисел .
44.СONJ Комплексное сопряжение элементов символьного массива
Функция conj(X)возвращает комплексно – сопряженное представление символьного
массива Х,т . е. для Х = real(X)+i*imag(X) ,функция conj(X) =
= real (X) –i * imag(X).
Пример:
» syms X
35
» real (X)
ans =
1/2*X+1/2*conj(X)
» imag(X)
ans =
-1/2*i*(X-conj(X))
45. PRETTY. Вывод символьного выражения на экран.
Функция pretty(S) выводит на экран выражение S в формате близком к печати,
используя длину строки 79 символов (по умолчанию), pretty(S,n) выводит
выражение S используя длину строки n символов.
Пример:
A = sym(pascal(2));
» pretty(A)
[1 1]
[
]
[1 2]
» B = eig(A);
» pretty(B)
[
1/2]
[3/2 + 1/2 5]
[
1/2]
[3/2 - 1/2 5]
46. LATEX Преобразование символьного выражения в коды редактора LaTeX
Пример:
syms x
» f = taylor (log(1 + x));
» latex (f)
ans =
x-1/2\,{x}^{2}+1/3\,{x}^{3}-1/4\,{x}^{4}+1/5\,{x}^{5}
» H = sym(hilb(3));
» latex (H)
ans =
\left [\begin {array}{ccc}
1&1/2&1/3\\\noalign{\medskip}1/2&1/3&1/4\\\noalign{\medskip}1/3&1/4&1/5\end {array}\right
]
47.CCODE Запись символьного выражения на языке С
Команда ccde(s) возвращает запись на языке С для выражения, записанного с
использованием символьных переменных, поддерживаемых ППП
Symbolic Math Toolbox.
Пример:
syms x
» f = taylor(log(1 + x));
» ccode(f)
ans =
t0 = x-x*x/2.0+x*x*x/3.0-x*x*x*x/4.0+x*x*x*x*x/5.0;
48. FORTRAN
Запись символьного выражения на языке Fortran
(Аналогично см. п 47)
Пример:
syms x
» f = taylor(log(1 + x));
» ccode(f)
36
ans =
t0 = x-x*x/2.0+x*x*x/3.0-x*x*x*x/4.0+x*x*x*x*x/5.0;
H = sym(hilb(3));
» fortran(H)
ans =
H(1,1) = 1
H(1,2) = 1.E0/2.E0
H(1,3) = 1.E0/3.E0
H(2,1) = 1.E0/2.E0
H(2,2) =
1.E0/3.E0
H(2,3) = 1.E0/4.E0
H(3,1) = 1.E0/3.E0
H(3,2) = 1.E0/4.E0
H(3,3) =
1.E0/5.E0
49. DOUBLE. Преобразовать символьный объект в числовой
R = double(sym('(1+exp(5))/2'))
R=
74.707
50.CHAR Преобразовать символьный объект в строковый
Если S символьный массив, то результат возвращается в форме строки
» a = sym(2*exp(2));
» b = sym((1-exp(3))^2);
» T = [a b];
» char(T)
ans =
array([[8319337573440942*2^(-49),6408089572133487*2^(-44)]])
51. Преобразовать вектор коэффициентов в символьный полином
Функция r = poly2sym(c) возвращает символьное представление полинома,
коэффициенты которого записаны в векторе с. По умолчанию переменной
такого полинома является х. Функция r = poly 2sym(c,v) или r = poly 2sym(c,sym(‘v’)
использует в качестве переменной v.
Пример:
Poly 2sym([1 1+exp(pi)2])
ans =
x^2+6795000896590649/281474976710656*x+2
poly 2sym([1 0 1-1 2],'v')
ans =
v^3+2
52. SYM2POLY Преобразует символьный полином в вектор коэффициентов
Коэффициенты упорядочены в порядке убывания степеней независимой переменной.
Пример:
syms x u v;
» sym2 poly(x^3-2*x-5)
ans =
1 0 -2 -5
» sym2 poly(u^4-3+5*u^2)
ans =
1 0 5 0 -3
УПРОЩЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ.
53.SIMPLIFY Упростить символьное выражение
Функция R = simplify(S) упрощает каждый элемент символьного массива S. Функция
[r,how] = simple(S) в дополнение к основному результату выводит в качестве второго
аргумента строку how, которая указывает выполненное преобразование.
Пример: » simplify(sin(x)^2 + cos(x)^2)
ans = 1
37
syms x y
» [r,how] = simple(asin(x*(1-y^2)^1/2+y*(1-x^2)^1/2))
r=
-asin(1/2*(y+x)*(y*x-1))
how =
factor
54. EXPAND Раскрыть символьное выражение
Эта операция чаще всего применяется к полиномам ,тригонометрическим,
экспоненциальным и тригонометрическим функциям.
Пример: syms t
R= expand([sin(2*t),cos(2*t)])
R=
[ 2*sin(t)*cos(t), 2*cos(t)^2-1]
55.FACTOR Разложить символьное выражение на простые множители.
Функция factor(N) возвращает разложение числа или элементов массива в виде
произведения простых множителей. Функция factor(S), где S матрица полиномов,
возвращает разложение каждого элемента массива на простые множители.
Пример:
» syms a b
» factor([a^2-b^2,a^3+b^3])
ans =
[ (a-b)*(a+b), (a+b)*(a^2-a*b+b^2)]
56. COLLECT Приведение однородных членов
Функция R=collect(s), где S – массив символьных полиномов, осуществляет собирание
однородных членов по степеням переменной х. Функция R= collect(S,v) выполняет ту же
функцию по отношению к независимой переменной.
Пример:
syms x y
» R = collect((x+y)*(x^2+y^2+1),y)
R=
y^3+x*y^2+(x^2+1)*y+x*(x^2+1)
57. SIMPLE Упростить символьное выражение
Функция simple(S) выполняет разные алгебраические преобразования над символьным
выражением S и выводит на экран варианты укороченных выражений. Функция
r = simple(S) выводит самое короткое без промежуточных результатов. Функция
[r,how] = simple(S) выводит строку how, которая указывает выполненное преобразование.
Пример:
» [r,how] = simple(2*cos(x)^2-sin(x)^2)
r=
3*cos(x)^2-1
how =
simplify
58. NUMDEN Приведение символьных полиномов к рациональной форме.
Функция [N,D] = numden(A) возвращает каждый элемент символьного массива в виде
отношения двух не приводимых полиномов. N и D – соответственно символьные массивы
числителей и знаменателей элементов массива.
Пример:
syms x y a b
» [n,d] = numden(x/y+y/x)
n=
x^2+y^2
d=
38
y*x
59. HORNER Представление полинома в виде схемы Горнера
Функция R = horner(P) преобразует каждый элемент символьного полиномного массива P в
соответствии со схемой Горнера.
Пример:
horner([x^2+x;y^3-2*y])
ans =
[ (1+x)*x]
[ (-2+y^2)*y]
60. SUBEXPR . Записать символьное выражение с использованием подстановок
Функции [Y, SIGMA] = subexpr(X,SIGMA) и [Y, SIGMA] = subexpr(X,’SIGMA’)
преобразует символьное выражение Х к форме с подстановкой SIGMA, упрощающей
исходное выражение.
Пример:
t = solve('a*x^3+b*x^2+c*x+d = 0');
» [r,s] = subexpr(t,'s')
r=
[1/6/a*s^(1/3)-2/3*(3*c*a-b^2)/a/s^(1/3)-1/3*b/a]
[ -1/12/a*s^(1/3)+1/3*(3*c*a-b^2)/a/s^(1/3)-1/3*b/a+1/2*i*3^(1/2)*(1/6/a*s^(1/3)+2/3*(3*c*ab^2)/a/s^(1/3))]
[ -1/12/a*s^(1/3)+1/3*(3*c*a-b^2)/a/s^(1/3)-1/3*b/a-1/2*i*3^(1/2)*(1/6/a*s^(1/3)+2/3*(3*c*ab^2)/a/s^(1/3))]
s=
36*c*b*a-108*d*a^2-8*b^3+12*3^(1/2)*(4*c^3*a-c^2*b^218*c*b*a*d+27*d^2*a^2+4*d*b^3)^(1/2)*a
61. SUBS Подстановка значений символьных переменных
Функция subs(S) заменяет свободные символьные переменные числовыми значениями либо
из вызываемой функции, либо из системы MATLAB. Функция subs (S,NEW) заменяет их
числовыми значениями из списка NEW. Функция subs(S,OLD,NEW) заменяет их новыми
символьными переменными из массива OLD или числами из списка NEW. Чтобы
предотвратить обратную подстановку, используется обращение subs(S,OLD,NEW,0).
Пример: подставим из системы MATLAB в решение дифференциального
уравнения Dy =-a*y:
a = 980;C1 =3;
» syms t
» S = dsolve ('Dy = -a*y');
» subs(S)
ans =
3*exp(-980*t)
Однокомпонентная подстановка
syms a b
» subs(a+b,a,4)
ans =
4+b
Много компонентная подстановка
subs(cos(a)+sin(b),{a,b},{sym('alpha'),pi/2})
ans =
cos(alpha)+1
Подстановка матрицы вместо скаляра
subs(exp(a*t),'a',-magic(2))
ans =
[ exp(-t), exp(-3*t)]
39
[ exp(-4*t), exp(-2*t)]
Для заметок пользователя……
40
ЯЗЫК MATLAB
Команды, функции и операторы системы MATLAB 5
Команды, функции,
операторы
Назначение
Команды общего назначения
Справочные команды
help
Текущая справка в командной строке
helpwin
Текущая справка в отдельном окне
helpdesk
Документация и диагностика в гипертексте
demo
Демонстрационные примеры
ver
Справка о текущей версии MATLAB
whatsnew
Вывод на экран файлов readme
readme
Новости о текущей версии MATLAB
Управление рабочей областью
who
Список текущих переменных
whos
Список текущих переменных с подробностями
clear
Удаление переменных и функций из памяти
pack
Дефрагментация рабочей области памяти
load
Считывание переменных из МАТ-файла
save
Запись переменных в MAT-файл
quit
Завершение работы в системе MATLAB '
Управление командами и функциями
what
Список файлов в текущем каталоге
type
Просмотр текста М-файла
edit
Редактирование текста М-файла
lookfor
Поиск М-файлов по ключу
which
Месторасположение функций и файлов
pcode
Создание Р-файла псевдокода
inmem
Просмотр функций в рабочей памяти
mex
Компиляция МЕХ-функции
Управление путями доступа
path
Определить/установить путь доступа
addpath
Добавить каталог к пути доступа
rmpath
Удалить каталог из пути доступа
editpath
Отредактировать путь доступа
Управление командным окном
echo
Эхо-команда
тоге
Управление выводом страниц
diary
Ведение протокола сеанса работы
format
Управление форматом вывода
clc
Очистить командное окно
home
Поместить курсор в начальную позицию
pause
Прерывание выполнения
Команды операционной системы
cd
Перейти в другой каталог
pwd
Путь доступа к текущему каталогу
dIr
Содержимое текущего каталога
delete
Удалить файл
qetenv
Получить значение переменной среды окружения
!
Выполнить команду операционной системы
dos
Выполнить команду DOS и возвратить результат
unix
Выполнить команду ОС UNIX и возвратить результат
vms
Выполнить команду DCL OC VMS и возвратить результат
web
Подключиться к Web-серверу
computer
Определить тип используемого компьютера
Отладка М-файлов
debug
Просмотреть список команд отладки
41
dbstop
dbclear
dbcont
dbdown
dbstack
dbstatus
dbstep
dbtype
dbup
dbquit
Профилирование М-файлов
profile
pareto
promsum
Задать контрольную точку
Удалить контрольную точку
Продолжить выполнение
Перейти в стеке вызываемых M-функций сверху вниз
Вывести стек вызываемых M-функций
Просмотреть список контрольных точек
Выполнить одну или несколько команд отладки
Распечатать M-файл с пронумерованными строками
Перейти в стеке вызываемых M-функций снизу вверх
Завершить отладку
Профиль времени исполнения M-файла
Операторы, специальные символы, переменные и константы
Арифметические операторы
+ plus
Сложение
+ uplus
Унарное сложение
— minus
Вычитание
— uminus
Унарное вычитание
* mtimes
Умножение матриц
. * times
Поэлементное умножение для массивов
mpower
Возведение матрицы в степень
. power
Возведение в степень для массивов
\ mldivide
Левое деление матриц
/ mrdivide
Правое деление матриц
.\ Idivide
Левое деление для массивов
./ rdivide
Правое деление для массивов
kron
Тензорное произведение векторов
Операторы отношения
= = eq
Тождественно
~ = ne
Не тождественно
< it
Меньше
> qt
Больше
<= le
Меньше или равно
>= ge
Больше или равно
Логические операторы
& and
Логическое И
Логическое ЙЛИ
or
~ 0t
Логическое НЕ
xor
Логическое ИСКЛЮЧИТЕЛЬНОЕ ИЛИ
any
Истинно, если хотя бы один элемент вектора не равен нулю
all
Истинно, если все элементы вектора не равны нулю
Специальные символы
:
Сечение массива
()
Указание последовательности выполнения операций
[]
Формирование массива
{}
Многомерные массивы
.
Десятичная точка (разделитель)
.
Выделение поля структуры
..
Указатель на каталог-родитель
…
Продолжение строки
,
Разделитель
;
Подавление вывода эхо результата
%
Комментарий
!
Вызов команды операционной системы
=
Присваивание
‘
Кавычка
.’ transpose
Транспонирование элементов массива
42
‘ctranspose
Транспонирование элементов матрицы
[ , ] horzcat
Объединение элементов в строку
[ ; ] vertcat
Объединение элементов в столбец
( ), { },.
subsasgn
Присваивание подмассива
( ), { },.
Ссылка на подмассив
subsref
subsindex
Индекс подмассива
Операторы поразрядной обработки
bitand
Поразрядное И
bitcmp
Биты дополнения
bitor
Поразрядное ИЛИ
bitmax
Максимальное число разрядов
bitxor
Поразрядное ИСКЛЮЧИТЕЛЬНОЕ ИЛИ
bitset
Задать бит
bitqet
Узнать бит
bitshift
Поразрядный сдвиг
Операторы обработки множеств
union
Объединение множеств
unique
Выделение множества
intersect
Пересечение множеств
setdiff
Разность множеств
setxor
ИСКЛЮЧИТЕЛЬНОЕ ИЛИ для множеств
ismember
Истинно, если это элемент множества
Специальные переменные и константы
ans
Результат выполнения последней операции
ерs
Машинная точность
realmax
Наибольшее число с плавающей точкой
realmin
Наименьшее число с плавающей точкой
i, j
pi
inf
NaN
isnan
isinf
isfinite
flops
Мнимая единица 1
p = 3.141592653589793e+000
Бесконечное значение,
Нечисловое значение
Истинно, если нечисловое значение
Истинно, если бесконечное значение
Истинно, если конечное значение
Количество операций с плавающей точкой
ФУНКЦИИ
Массивы, матрицы и операции над ними
Массивы и матрицы специального вида
zeros
Формирование массива нулей
ones
Формирование массива единиц
еуе
Формирование единичной матрицы
repmat
Формирование многомерного массива на основе данного
rand
Формирование массива элементов, распределенных по равномерному закону
randn
Формирование массива элементов, распределенных по нормальному закону
linspace
Формирование линейного массива равноотстоящих узлов
logspace
Формирование узлов логарифмической сетки
meshqrid
Формирование узлов двумерной и трехмерной сеток
:
Формирование векторов и подматриц
Характеристики массивов
size
Размер массива
length
Длина вектора
ndims
Количество размерностей массива
isempty
Истинно, если массив пустой
isegual
Истинно, если два массива идентичны
isnumeric
Истинно, если. массив числовой
43
isloqical
logical
Операции над матрицами
reshape
diag
tril
triu
fliplr
flipud
flipdim
rot 90
find
end
sub2ind
ind2sub
Специальные матрицы
compan
gallery
hadamard
hankel
hilb
invhilb
magic
pascal
rosser
toeplitz
vander
Истинно, если массив логический
Преобразовать числовые элементы в логические
Преобразование размеров матрицы
Формирование или извлечение диагоналей матрицы
Формирование нижней треугольной матрицы
Формирование верхней треугольной матрицы
Отражение матрицы относительно вертикальной оси
Отражение матрицы относительно горизонтальной оси
Отражение многомерной матрицы относительно указанной размерности
Поворот матрицы на 90
Определить индексы ненулевых элементов
Последний индекс многомерной матрицы
Преобразование линейной индексации в многомерную
Преобразование многомерной индексации в линейную
Сопровождающая матрица
Пакет тестовых матриц
Матрица Адамара
Матрица Ганкеля
Матрица Гильберта
Матрица, обратная матрице Гильберта
Магический квадрат
Матрица Паскаля
Матрица Peccepa
Матрица Теплица
Матрица Вандермонда
wilkinson
Матрица Уилкинсона
Математические функции
Тригонометрические функции
sin
Синус
sinh
Гиперболический синус
asin
Арксинус
asinh
Гиперболический арксинус
cos
Косинус
cosh
Гиперболический косинус
acos
Арккосинус
acosh
Гиперболический арккосинус
tan
Тангенс
tanh
Гиперболический тангенс
atan
Арктангенс
atan2
Арктангенс от двух аргументов
atanh
Гиперболический арктангенс
sес
Секанс
sech
Гиперболический секанс
asec
Арксеканс
asech
Гиперболический арксеканс
csc
Косеканс
csch
Гиперболический косеканс
acsc
Арккосеканс
acsch
Гиперболический арккосеканс
соt
Котангенс
coth
Гиперболический котангенс
acot
Арккотангенс
acoth
Гиперболический арккотангенс
Трансцендентные функции
exp
Экспоненциальная функция
log
Функция натурального логарифма
Log 10
Логарифм по основанию 10
Log 2
Логарифм по основанию 2
44
pow2
Экспонента по основанию 2
sgrt
Функция квадратного корня
nextpow2
Ближайшая степень экспоненты по основанию 2
Функции обработки комплексных чисел
abs
Абсолютное значение комплексного числа
angle
Аргумент комплексного числа
соnj
Комплексно-сопряженное число
imag
Мнимая часть комплексного числа
real
Действительная часть комплексного числа
unwrap
Непрерывная функция фазового угла
isreal
Истинно, если это массив действительных чисел
cplxpair
Сортировка комплексно-сопряженных пар
Округление и модульная арифметика
fix
Усечение дробной части числа
floor
Округление до меньшего целого
ceil
Округление до большего целого
round
Округление до ближайшего целого
mod
Остаток от деления с учетом знака
rem
Остаток в смысле модульной арифметики
sign
Знак числа
Специальные математические функции
airy
Функция Эйри
besselj
Функция Бесселя первого рода
bessely
Функция Бесселя второго рода
besselh
Функция Бесселя третьего рода (функция Ганкеля)
besseli
Модифицированная функция Бесселя первого рода
besselk
Модифицированная функция Бесселя второго рода
beta
Полная бета-функция
betainc
Неполная бета-функция
betaln
Натуральный логарифм полной бета-функции
ellipj
Эллиптические функции Якоби
ellipke
Полные эллиптические интегралы
erf
Функция ошибки
erfc
Остаточная функция ошибки
erfcx
Масштабированная остаточная функция ошибки
erfinv
Обратная функция ошибки
expint
Показательная интегральная функция
gаmmа
Полная гамма-функция
gammainc
Неполная гамма-функция
qammaln
Натуральный логарифм полной гамма-функции
legendre
Функция Лежандра
cross
Векторное произведение векторов
Теоретико-числовые функции
factor
Разложение числа на простые множители
isprime
Истинно, если число простое
primes
Формирование списка простых чисел
gcd
Наибольший общий делитель
Icm
Наименьшее общее кратное
rat
Приближение числа в виде рациональной дроби
rats
Вычисления в поле рациональных чисел
perms
Вычисление числа перестановок, Pn
Вычисление числа сочетаний, С n
Функции преобразования систем координат
cart2sph
Преобразование декартовой системы в сферическую
cart2pol
Преобразование декартовой системы в полярную
pol2cart
Преобразование полярной системы в декартову
sph2cart
Преобразование сферической системы в декартову
hsv2rqb
Преобразование hsy-палитры в rgb-палитру
rgb2hsv
Преобразование rgb-палитры в hsv-палитру
Линейная алгебра
nchoosek
k
45
Матричный анализ
norm
Вычисление норм векторов и матриц
rank
Вычисление ранга матрицы
det
Вычисление определителя матрицы
trace
Вычисление следа матрицы
null
Вычисление нуль-пространства матрицы
orth
Вычисление ортонормального базиса матрицы
rref
Приведение к треугольной форме
subspace
Вычисление угла. между подпространствами
Решение систем линейных уравнений
\и/
Решатели систем уравнений
inv
Вычисление обратной матрицы
cond
Вычисление числа обусловленности по отношению к задаче обращения матрицы
chol
Разложение Холецкого
cholinc
Неполное разложение Холецкого
lu
LU-разложение
luinc
Неполное LU-разложение
qr
QR-разложение
nnls
Метод наименьших квадратов с ограничениями
pinv
Псевдообращение по Mуpy - Пенроузу
iscov
Метод наименьших квадратов в присутствии шумов
Собственные значения и сингулярные числа
eiq
Полная проблема собственных значений
svd
Сингулярное разложение
eiqs
Вычисление отдельных собственных значений
svds
Вычисление отдельных сингулярных чисел
poly
Вычисление характеристического полинома
polyeig
Решение полиномиальных матричных уравнений
Вычисление числа обусловленности по отношению к задаче на собственные
condeig
значения
hess
Приведение матрицы к форме Хессенберга
qz
Обобщенная проблема собственных значений
schur
Приведение матрицы к форме Шура
Вычисление функций от матриц
expm
Вычисление матричной экспоненты
logm
Вычисление логарифма матрицы
sgrtm
Вычисление функции А1/2
funm
Вычисление произвольных функций от матриц
Утилиты
qrdelete
Удалить столбец из QR-разложения
qrinsert
Добавить столбец в QR-разложение
rsf2csf
Преобразование действительной формы Шура в комплексную
cdf2rdf
Преобразование комплексной формы Шypa в действительную
balance
Масштабирование матрицы
planerot
Формирование матрицы вращения Гивенса
Полиномы и операции над ними
polyval
Вычисление полинома
polyvalm
Вычисление матричного полинома
poly
Вычисление характеристического полинома
residue
Разложение на простые дроби
roots
Вычисление корней полинома
polyfit
Аппроксимация данных полиномом
polyder
Вычисление производной полинома
conv
Умножение полиномов
deconv
Деление полиномов
Анализ данных и преобразование Фурье
Базовые операции
max
Максимальный компонент массива
min
Минимальный компонент массива
mean
Компонент средних значений массива
median
Компонент срединных значений массива
46
std
Компонент стандартных отклонений массива
sort
Сортировка по возрастанию
sortrows
Сортировка строк по возрастанию
sum
Суммирование элементов массива
prod
Произведение элементов массива
cumsum
Суммирование с накоплением
cumprod
Произведение с накоплением
Численное интегрирование
cumtrapz
Численное интегрирование методом трапеций с накоплением
trapz
Численное интегрирование методом трапеций
quad
Численное интегрирование методом квадратур
quad8
Численное интегрирование методом Ньютона - Котеса
dblquad
Вычисление двойного интеграла
Вычисление минимумов и нулей функций
fmin
Минимизация функции одной переменной
fmins
Минимизация функции нескольких переменных
fzero
Нахождение нулей функции одной переменной
Аппроксимация и интерполяция данных
interp1
Одномерная табличная интерполяция
interp1g
Быстрая одномерная интерполяция
interp2
Двумерная табличная интерполяция
interp3
Трехмерная табличная интерполяция
interyn
N-мерная табличная интерполяция
interpft
Аппроксимация периодической функции
grlddata
Интерполяция на неравномерной сетке
ppval
Аппроксимация кусочно-гладкими полиномами
spline
Интерполяция кубическим сплайном
Геометрический анализ данных
delaunay
Триангуляция Делоне
dsearch
Триангуляция Делоне для ближайшей точки
tsearch
Поиск наилучшей триангуляции
convhull
Вычисление выпуклой оболочки
voronoi
Вычисление диаграммы Вороного
inpolyqon
Истинно, если точка внутри полигона
rectint
Область пересечения прямоугольника
polyarea
Область многоугольника
Вычисление конечных разностей
diff
Аппроксимация производных конечными разностями
gradient
Вычисление градиента функции
del2
Аппроксимация Лапласиана
Корреляционный анализ
corrcoef
Вычисление коэффициентов корреляции
cov
Вычисление матрицы ковариаций
Преобразования Фурье
fft
Одномерное дискретное преобразование Фурье
fft2
Двумерное дискретное преобразование Фурье
fftn
N-мерное дискретное преобразование Фурье
ifft
Обратное одномерное преобразование Фурье
ifft2
Обратное двумерное преобразование Фурье
ifftn
Обратное N-мерное преобразование Фурье
fftshift
Сдвиг постоянной составляющей в центр спектра
Свертка и фильтрация
filter
Дискретная одномерная фильтрация
filter2
Дискретная двумерная фильтрация
conv
Свертка одномерных массивов
conv2
Свертка двумерных массивов
convn
Свертка N-мерных массивов
deconv
Операция, обратная свертке (деление полиномов)
Звуковое воспроизведение
sound
Озвучить одномерный массив чисел
soundsc
Масштабировать и озвучить одномерный массив чисел
47
mu2lin
Преобразование -кодированного сигнала в линейный
lin2mu
Преобразование линейного сигнала в -кодированный
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)
Решатели ОДУ
ode113
Нежесткие ОДУ, метод переменных состояний
ode15s
Жесткие ОДУ, метод переменных состояний
ode23
Нежесткие ОДУ, метод низкого порядка
ode23s
Жесткие ОДУ, метод Рунге - Кусты 3-го порядка
ode45
Нежесткие ОДУ, метод Рунге – Кусты 4-го порядка
odefile
Описание системы ОДУ
Дескрипторная поддержка опций решателя
odeset
Создать/изменить опции решателя
odeget
Получить опции решателя
Формирование выходов решателя
odeplot
Формирование процессов как функций времени
odephas2
Двумерная фазовая плоскость
odephas3
Трехмерная фазовая плоскость
odeprint
Командное окно вывода на печать
Работа с разреженными матрицами
Элементарные разреженные матрицы
sparse
Формирование разреженной матрицы
speye
Единичная разреженная матрица
Случайная разреженная матрица с элементами, распределенными по равномерному
sprand
закону
Случайная разреженная матрица с элементами, распределенными по нормальному
sprandn
закону
sprandsym
Случайная разреженная симметрическая матрица
spdiags
Формирование диагоналей разреженной матрицы
Характеристики разреженных матриц
normest
Оценка 2-нормы разреженной матрицы
condest
Оценка числа обусловленности по 1-норме
sprank
Вычисление структурного ранга
Преобразование разреженных матриц
full
Преобразование разреженной матрицы в полную
find
Определение индексов ненулевых элементов
spconvert
Восстановление разреженной матрицы из внешнего ASCII-формата
Работа с ненулевыми элементами
nnz
Количество ненулевых элементов
nonzeros
Формирование вектора ненулевых элементов
nzmax
Количество ячеек памяти для размещения ненулевых элементов
spones
Формирование матрицы связности
spalloc
Выделить память для разреженной матрицы
issparse
Истинно, если матрица разреженная
spfun
Вычисление функции только для ненулевых элементов
Операции над графом разреженной матрицы
etree
Вычисление дерева структуры
etreeplot
Построение дерева структуры
treelayout
Разметка дерева структуры
treeplot
Построение дерева структуры
Алгоритмы упорядочения
colmmd
Упорядочение по разреженности столбцов
symmmd
Симметрическая упорядоченность
symrcm
RCM-упорядоченность
colperm
Упорядочение столбцов с учетом их разреженности
randperm
Формирование случайных перестановок
dmperm
DM-декомпозиция разреженной матрицы
Решение систем уравнений с разреженными матрицами
pcg
Метод сопряженных градиентов
bicg
Двунаправленный метод сопряженных градиентов
bicgstab
Устойчивый двунаправленный метод
48
cgs
Квадратичный метод сопряженных градиентов
gmres
Метод минимизации обобщенной невязки
gmr
Квазиминимизация невязки
Визуализация разреженных матриц
gplot
Построение графа структуры
spy
Визуализация структуры разреженной матрицы
Вспомогательные операции
spparms
Установка параметров для алгоритмов обработки
symbfact
Характеристики разложения Холецкого
spaugment
Формирование расширенной матрицы для метода наименьших квадратов
Элементарная графика
Двумерные графики
lot
График в линейном масштабе
loglog
График в логарифмическом масштабе
semilogx
График в полулогарифмическом масштабе по оси х
semilogy
График в полулогарифмическом масштабе по оси у
polar
График в полярных координатах
plotyy
График с двумя вертикальными осями
Трехмерные графики
plot3
Построение линий и точек в трехмерном пространстве
contour
Изображение линий уровня для трехмерной поверхности
contourc
Формирование массива описания линий уровней
сontour3
Изображение трехмерных линий уровня
meshgrid
Формирование двумерных массивов Х и Y
mesh
Трехмерная сетчатая поверхность
meshc
Трехмерная сетчатая поверхность с проекцией линий постоянного уровня
meshz
Трехмерная сетчатая поверхность с плоскостью отсчета на нулевом уровне
surf
Затененная сетчатая поверхность
surfc
Затененная сетчатая поверхность с проекцией линий постоянного уровня
surfl
Затененная сетчатая поверхность с подсветкой
Задание осей координат
axis
Масштабирование и вывод осей координат
grid
Управление выводом сетки
hold
Управление режимом сохранения графического окна
subplot
Разбиение графического окна
zoom
Изменение масштаба в графическом окне
Управление цветом
caxis
Установление соответствия между палитрой цветов и масштабированием осей
colormap
Палитра цветов
colstyle
Выделить цвет и стиль для графика из заданного массива
pcolor
Палитра псевдоцветов
rgbplot
Изображение палитры
spinmap
Вращение палитры
hsv2rqb
Преобразование hsy-палитры в rgb-палитру
rgb2hsv
Преобразование rgb-палитры в hsy-палитру
shading
Затенение поверхностей
brighten
Управление яркостью
contrast
Палитра серого с повышенной контрастностью
hidden
Управление удалением невидимых линий
whitebg
Управление цветом фона
Палитры цветов
hsv
Палитра радуги
hot
Палитра с чередованием черного, красного, желтого и белого
qray
Линейная палитра в оттенках серого
bone
Серая палитра с оттенком синего
copper
Линейная палитра в оттенках меди
pink
Розовая палитра с оттенками пастели
white
Палитра белого
flag
Палитра с чередованием красного, белого, синего и черного
lines
Палитра, определяемая свойством ColorOrder
colorcube
RGB-палитра с оттенками серого
49
jet
prlsm
Разновидность hsy-палитры
Палитра с чередованием красного, оранжевого, желтого, зеленого, синего и
фиолетового
Палитра с оттенками голубого и фиолетового
Палитра с оттенками красного и желтого
Палитра с оттенками желтого и фиолетового
Палитра с оттенками голубого и зеленого
Палитра с оттенками желтого и зеленого
cool
autumn
spring
winter
summer
Управление подсветкой
diffuse
Эффект диффузного рассеяния
lightinq
Управление подсветкой
material
Эффект рассеяния материала поверхности
specular
Эффект зеркального отражения
surfnorm
Построение нормалей к поверхности
Управление углом просмотра
view
Управление положением точки просмотра
viewmtx
Вычисление матрицы управления углом просмотра
rotate3d
Интерактивные повороты трехмерного объекта
Надписи и пояснения к графикам
xlabel
Обозначение оси x
ylabel
Обозначение оси у
zlabel
Обозначение оси z
clabel
Маркировка линий уровня
colorbar
Шкала палитры
title
Заголовок графика
text
Добавление к текущему графику текста
gtext
Размещение текста на графике с помощью мыши
legend
Пояснение к графику
Создание твердой копии и сохранение графика
orient
Размещение твердой копии на странице
print
Вывод графика на печать или в файл
printopt
Задание опций печати по умолчанию
Двумерные графики
area
Закраска областей графика
bar
Столбцовая диаграмма
barh
Столбцовая диаграмма с горизонтальным расположением
comet
Движение точки по траектории
compass
График векторов-стрелок, исходящих из начала координат
errorbar
График с указанием интервала погрешности
ezplot
Построение графиков с использованием диалогового окна
feather
График векторов-стрелок, исходящих из равноотстоящих точек горизонтальной оси
fill
Закраска многоугольников
hist
Построение гистограммы
pareto
График результатов профилирования программы
pie
Круговая диаграмма
plotmatrix
График матрицы
quiver
График поля направлений
ribbon
Изображение линий на трехмерном графике
stairs
Ступенчатый график
stem
График дискретных значений
Трехмерная графика
barЗ
Трехмерная столбцовая диаграмма
barЗh
Трехмерная столбцовая диаграмма с горизонтальным расположением
comet3
Движение точки по траектории в трехмерном пространстве
contourf
График линий уровня с раскрашенными областями
fill3
Раскраска многоугольников в трехмерном пространстве
pie3
Секторная диаграмма
quiver3
График поля направлений в трехмерном пространстве
slice
Сечения функции от трех переменных
stem3
График дискретных значений в трехмерном пространстве
trimesh
Трехмерная поверхность с треугольными ячейками
50
trisurf
Трехмерная сетчатая поверхность с треугольными ячейками
waterfall
Трехмерная поверхность без прорисовки ребер сетки
Работа с графическими образами
image
Вывод графического образа
imaqesc
Масштабирование и вывод графического образа
imfinfo
Информация о структуре графического файла
Анимационные возможности
capture
Захват графической фигуры
getframe
Создать фрейм для анимации
moviein
Выделить память под фреймы анимации
movie
Выполнить анимацию
rotate
Вращение графического объекта
frame2im
Преобразование фрейма в графический образ
im2frame
Преобразование графического образа во фрейм
Объемные графические объекты
patch
Закрашенный многоугольник
cylinder
Выполнить расчет цилиндра
sphere
Выполнить расчет сферы графика
Дескрипторная графика
Создание и управление графическим окном
figure
Открыть графическое окно (команда)
qcf
Получить дескриптор графического объекта figure
clf
Очистить графическое окно
shy
Показать графическое окно (для совместимости с версией 3.5)
close
Закрыть графическое окно
refresh
Обновить графическое окно
Создание осей координат и управление ими
axes
Создать оси координат (команда)
box
Окружить оси прямоугольником или параллелепипедом
cla
Очистить оси координат
qca
Получить дескриптор графического объекта axes
hold
Сохранить оси координат
ishold
Истинно, если оси координат сохранены
Объекты дескрипторной графики
figure
Графический объект figure
axes
Графический объект axes
line
Графический объект line
text
Графический объект text
patch
Графический объект patch
surface
Графический объект surface
image
Графический объект image
light
Графический объект light
uicontrol
Графический объект uicontrol
uimenu
Графический объект uimenu
Операции над графическими объектами
set
Установить свойства графического объекта
qet
Получить свойства графического объекта
reset
Восстановить штатные значения свойств
delete
Удалить графический объект
qco
Получить дескриптор текущего объекта
gcbo
Получить дескриптор повторно вызываемого объекта
qcbf
Получить дескриптор повторно вызываемого графического окна
drawnow
Выполнить очередь задержанных графических команд
findobj
Найти объекты с заданными свойствами
copyobj
Скопировать сам объект и порожденные им графические объекты
Утилиты
closereq
Запрос на закрытие графического окна
ishandle
Истинно, если это дескриптор
newplot
Восстановление штатных значений свойства NextPlot
51
Графический интерфейс пользователя (GUI)
Функции GUI
uicontrol
Создать управляющий элемент (команда)
uimenu
Создать меню (команда)
ginput
Съем координат с помощью мыши
dragrect
Переместить прямоугольник с помощью мыши
rbbox
Растянуть прямоугольник с помощью мыши
selectmoveresize
Выбор, перемещение, изменение размеров, копирование объектов с помощью мыши
waitforbuttonpress
Ожидание нажатия клавиши клавиатуры или мыши в поле графического окна
waitfor
Прекратить выполнение в ожидании события
uiwait
Прекратить выполнение в ожидании возобновления
uiresume
Возобновить выполнение после блокировки
Средства проектирования GUI
guide
Редактирование управляющих элементов в графическом окне
align
Выравнять положение объектов
cbedit
Изменить повторный вызов объекта
menuedit
Изменить меню графического окна
propedit
Изменить свойства объекта
Диалоговые панели
dialog
Создание панели сообщений
dialog
Создание графического окна диалога
axlimdlg
Ограничение размеров окна диалога
errordlg
Диалоговая панель сообщений об ошибках
helpdlg
Диалоговая панель подсказки
inputdlg
Диалоговая панель ввода
listdlg
Диалоговая панель просмотра списка
menu
Меню диалогового ввода
msgbox
Создание панели сообщений
questdlg
Диалоговая панель с вопросом
warndlg
Диалоговая панель предупреждения
uiqetfile
Стандартная диалоговая панель открытия файла
uiputfile
Стандартная диалоговая панель записи файла
uisetcolor
Стандартная диалоговая панель выбора цвета
uisetfont
Стандартная диалоговая панель выбора шрифта
pagedlg
Диалоговая панель расположения страницы
printdlg
Диалоговая панель печати
waitbar
Панель ожидания
Создание меню
makemenu
Создать структуру меню
menubar
Установить штатные значения свойства MenuBar
umtoggle
Изменить статус checked объекта uimenu
winmenu
Создать подменю для пункта меню Window
Создание кнопок инструментальной панели
btngrouр
Создать кнопку на инструментальной панели
btnstate
Запросить состояние кнопки
btnpress
Управление кнопками инструментальной панели
btndown
Нажать кнопку
btnup
Отпустить кнопку
Утилиты задания свойств объектов figure и axes
setuprop
Задать свойство
getuprop
Запросить значение свойства
clru prop
Удалить свойство
Вспомогательные утилиты
allchild
Запросить все порожденные объекты
hidegui
Скрыть-раскрыть GUI
edtext
Интерактивное редактирование объекта text
qetstatus
Запросить свойства строки объекта figure
setstatus
Установить свойства строки объекта figure
popupstr
Запросить свойства строки выпадающего меню
52
remapfig
setptr
getptr
overobj
Изменить расположение объекта figure
Установить указатель на объект figure
Запросить указатель на объект figure
Запросить дескриптор объекта по его указателю
Обработка строк
Основные функции
blanks
Сформировать строку пробелов
cellstr
Преобразовать массив символов в массив ячеек для строк
char
Сформировать массив символов
deblank
Удалить пробелы в конце строки
double
Преобразовать символы строки в числовые коды
Проверка строк
ischar
Истинно, если это массив символов (строка)
iscellstr
Истинно, если это массив ячеек для строк
isletter
Истинно, если это символ алфавита
isspace
Истинно. если это пробел
Операции над строками
strcat
Горизонтальное объединение строк
strvcat
Вертикальное объединение строк
strcmp
Сравнить строки
strncmp
Сравнить n символов строк
findstr
Найти заданную строку в составе другой строки
strjust
Выравнять массив символов
strmatch
Найти все. совпадения
strrep
Заменить одну строку другой
strtok
Найти часть строки, ограниченную разделителями
upper
Перевести все символы строки в верхний регистр
lower
Перевести. все символы строки в нижний регистр
Преобразования строк
num2str
Преобразование числа в строку
int2str
Преобразование целого в строку
mat2str
Преобразование матрицы в строку
str2mat
Объединение строк в матрицу
str2num
Преобразование строки в арифметическое выражение и его вычисление
sprintf
Записать форматированные данные в виде строки
sscanf
Прочитать строку с учетом формата
Преобразования систем счисления
hex2num
Преобразовать шестнадцатеричное число в число удвоенной точности
hex2dec
Преобразовать шестнадцатеричное число в десятичное число
dec2hex
Преобразовать десятичное число в шестнадцатеричное число
bin2dec
Преобразовать двоичную строку в десятичное число
dec2bin
Преобразовать десятичное число в двоичную строку
base2dec
Преобразовать В-строку в десятичное число
dec2base
Преобразовать десятичное число в В-строку
Операции ввода/вывода файлов
Открытие и закрытие файлов
fopen
Открыть файл
fclose
Закрыть файл
Двоичные файлы
fread
Прочитать двоичные данные из файла
fwrite
Записать двоичные данные в файл
Форматированные файлы
fscanf
Прочитать форматированные данные из файла
fprintf
Записать форматированные данные в файл
fgetl
Прочитать строку файла, удалив символ конца строки
fgets
Прочитать строку файла, сохранив символ конца строки
input
Интерактивный ввод
Позиционирование файла
53
ferror
Запросить информацию об ошибке ввода/вывода
feof
Проверить признак конца файла
fseek
Установить указатель в заданную позицию
ftell
Запросить позицию указателя в файле
frewind
Установить указатель в начало файла
Работа с каталогами
matlabroot
Имя каталога, где размещена система MATLAB
matlabrc
Список путей доступа
path
Управление списком путей доступа
addpath
Добавить путь доступа к списку
editpath
Отредактировать список путей доступа
filesep
Разделитель каталогов для данной платформы
pathsep
Разделитель путей доступа для данной платформы
mexext
Расширение MEX-файлов для данной платформы
fullfile
Построить полное имя файла из частей
partialpath
Разбить путь доступа на части
tempdir
Запросить имя временного каталога
tempname
Запросить имя временного файла
Импорт-экспорт файлов
load
Прочитать переменные из MAT-файла
save
Записать переменные в МАТ-файл
csvread
Преобразовать файл, элементы которого разделены запятыми, в массив
csvwrite
Преобразовать массив в файл, элементы которого разделены запятыми
dlmwrite
Преобразовать массив в файл с ASCII-разделителем
dlmread
Преобразовать файл с ASCII-разделителем в массив
wk1read
Прочитать файл электронной таблицы Lotus123
wk1write
Записать файл в электронную таблицу Lotus123
Импорт/экспорт графических образов
imread
Считать графический образ из файла
imwrite
Записать графический образ в файл
Импорт/экспорт звуковых файлов
wavwrite
Записать звуковой файл wav
wavread
Считать звуковой файл wav
Время и даты
Текущее время и дата
clock
date
now
Основные функции
datenum
datestr
datevec
calendar
weekday
eomday
datetick
cputime
tic
toc
etime
Текущее время и дата в форме вектора
Текущая дата в форме строки
Текущее время и дата в форме числа
Последовательный номер даты с 01-Jan-0000
Строковое представление даты
Векторное представление даты
Календарь текущего месяца
День недели
Последний день месяца
Форматирование меток осей датой
Время работы центрального процессора в. секундах
Начало отсчета
Конец отсчета
Интервал использованного времени
Типы данных и структур
Многомерные массивы
cat
ndims
ndgrid
permute
ipermute
shiftdim
Объединить массивы
Размерность массива
Сгенерировать сетку для многомерной функции
Перестановка размерностей массива
Обратная перестановка размерностей массива
Изменить размерность массива
54
squeeze
Массивы ячеек
cell
celldisp
cellplot
deal
iscell
cell2struct
num 2cell
struct2cell
Массивы записей
struct
fieldnames
getfield
setfield
rmfield
isfield
isstruct
Удалить одну из размерностей
Создать массив ячеек
Показать содержимое массива ячеек
Показать графическую структуру массива ячеек
Установить соответствие входов с выходами
Истинно, если это массив ячеек
Преобразовать массив ячеек в массив структур
Преобразовать числовой массив в массив ячеек
Преобразовать массив структур в массив ячеек
Создать массив Записей
Получить имена полей
Получить содержимое полей
Установить содержимое полей
Удалить поле
Истинно, если это поле массива записей
Истинно, если это массив записей
Классы объектов и программирование
Классы объектов
cell
Создать массив ячеек
char
Создать массив символов
double
Преобразовать в массив чисел удвоенной точности
sparse
Создать разреженную матрицу
struct
Создать массив записей
inline
Создать объект inline
uint8
Преобразовать в 8-битовое целое без знака
Объектно-ориентированное программирование
class
Создать объект или возвратить класс объекта
methods
Показать методы данного класса
isa
Истинно, если объект принадлежит данному классу
isobject
Истинно, если это объект
inferiorto
Отношение низшего класса
superiorto
Отношение высшего класса
Переопределение методов
minus
Переопределить метод для а — b
plus
Переопределить метод для а,+ b
times
Переопределить метод для а. * b
mtimes
Переопределить метод для а * b
mldivide
Переопределить метод для a \ b
mrdivide
Переопределить метод для а / Ь
rdivide
Переопределить метод для а. / b
Idivide
Переопределить метод для а.\ b
power
Переопределить метод для а. ^ Ь
mpower
Переопределить метод для а^ Ь
uminus
Переопределить метод для –a
uplus
Переопределить. метод для +а
horzcat
Переопределить метод для [а b]
vertcat
Переопределить метод для [а; b]
le
Переопрёделить метод для а <= Ь
It
Переопределить метод для а < b
gt
Переопределить метод для а > b
ge
Переопределить метод для а = Ь
eq
Переопределить метод для a==b
nе
Переопределить метод для а =b
not
Переопределить метод для а
and
Переопределить метод для a b
or
Переопределить метод для alb
subsasgn
Переопределить метод для a(i)=b, a{i}=b, а.field=b
55
subsref
colon
transpose
ctranspose
subsindex
Переопределить метод для a(i}, а{i},.а. field
Переопределить метод для а:b
Переопределить метод для а.’
Переопределить метод для а'
Переопределить метод для х(а)
Динамический обмен данными (DDE)
Функции клиента
ddeadv
ddeexec
ddeinit
ddepoke
ddereq
ddeterm
ddeunadv
Установить консультативную связь
Послать строку на выполнение
Инициировать DDE-диалог
Послать данные в приложение
Запросить данные от приложения
Завершить DDE-диалог
Завершить консультативную связь
Команды ППП Notebook
Команды
Define Input Cell
Define Autolnit Cell
Define Calc Zone
Undefine Сells
Purqe Output Cells
GroupCells
Unqroup Cells
Hide/Show Zone Cell
Markers
Toggle Graph Output for
Cell
Evaluate Cell
Evaluate Calc Zone
Evaluate М-book
Evaluate Loop
Brinq MATLAB to Front
Notebook Options
Numeric Format:
Short
Long
Hex
Bank
PIus
Short e
Long e
Rational
Compact
Loose
Figure Options:
Embed Figures in M-book
Use 16-Color Figures
Units:
Inches
Centimeters
Points
Stop evaluating on error
Назначение
Создать ячейку ввода
Создать ячейку автостарта
Создать зону вычисления
Преобразовать ячейки в текст
Удалить ячейки вывода
Создать многострочную ячейку ввода
Преобразовать группу ячеек в ячейки ввода
Скрыть/показать маркеры ячейки
Запретить/разрешить вывод графики
Вычислить ячейку
Вычислить зону
Вычислить М-книгу
Вычислить ячейки ввода в цикле
Вынести командное окно MATLAB на передний план
Управление выводом на терминал результатов вычислений в М-книге
Управление форматом вывода чисел:
короткое число
длинное число
шестнадцатеричное число
коммерческий формат
символьный формат
короткое число (экспоненциальная форма)
длинное число (экспоненциальная форма)
формат рационального числа
подавление пробелов между строками
восстановление пробелов между строками
Управление выводом графики:
помещать рисунок в М-книгу
выбор 16- или 256-цветной палитры
Единица измерения:
дюйм
сантиметр
пункт
Контроль при вычислении множественных ячеек
Команды и функции ППП Symbolic Mathematics Toolbox
Команды, функции
Базовые операции
sym
Назначение
Сформировать символьную переменную или объект
56
syms
Сформировать группу символьных объектов
findsym
Составить список символьных переменных
real, imag
Действительная и мнимая части символьной переменной
conj
Комплексное сопряжение элементов символьного массива
pretty
Вывод символьного выражения на экран
latex
Преобразование символьного выражения в коды редактора LaTeX
ccode
Запись символьного выражения на языке С
fortran
Запись символьного выражения на языке Fortran
Преобразование символьных объектов
double
Преобразовать символьный объект в числовой
char
Преобразовать символьный объект в строковый
poly2sym
Преобразовать вектор коэффициентов в символьный полином
аут 2роlу
Преобразовать символьный полином в вектор коэффициентов
Арифметика переменной точности
digits
Установить количество значащих цифр результата
vра
Вычислить в арифметике с переменной точностью
Упрощение математических выражений
simplifi
Упростить символьное выражение
expand
Раскрыть символьное выражение
factor
Разложить символьное выражение на простые множители
collect
Приведение однородных членов
simple
Упростить символьное выражение
numden
Приведение символьных полиномов к рациональной форме
horner
Представление полинома в виде схемы Горнера
subexpr
Записать символьное выражение с использованием подстановок
subs
Подстановка значений символьных переменных
Математический анализ
limit
Предел функции одной переменной
diff
Дифференцирование функции одной переменной
int
Интегрирование функции одной переменной
symsum
Суммирование рядов
taylor
Разложение функции в ряды Тейлора и Маклорена
jacobian
Вычисление якобиана функции
Суперпозиция, обращение функций и решение уравнений
compose
Суперпозиция функций
finverse
Вычисление обратной функции
solve
Символьное решение уравнений и систем уравнений
dsolve
Символьное решение уравнений и систем ОДУ
Работа с символьными массивами и матрицами
+
Сложение
Вычитание
*
Умножение матриц
.*
Умножение массивов
\
Решение систем линейных уравнений AX = В
.\
Левое деление массивов
/
Решение систем линейных уравнений ХА = В
./
Правое деление массивов
^
Степень матрицы
.^
Степень массива
‘
Транспонирование матрицы
.’
Транспонирование массива
Линейная алгебра
det
Определитель матрицы
poly
Характеристический полином матрицы
diag
Формирование или извлечение диагоналей матрицы
tril
Формирование нижней треугольной матрицы (массива)
triu
Формирование верхней треугольной матрицы (массива)
rref
Приведение целочисленной матрицы к верхней треугольной форме
rank
Ранг целочисленной матрицы
colspace
Базис пространства столбцов целочисленной матрицы
null(
Нуль-пространство целочисленной матрицы
57
inv
Обращение символьной или целочисленной матрицы
svd
Сингулярное разложение символьной или целочисленной матрицы
eig
Собственные значения и собственные векторы символьной матрицы
jordan
Каноническая форма Жордана символьной матрицы
expm
Матричная экспонента
Специальные функции
cosint, sinint
Функции интегрального косинуса и синуса
lambertw
W-функция Ламберта
zeta
Дзета-функция Римана
Интегральные преобразования
fourier
Преобразование Фурье
ifourier
Обратное преобразование Фурье
laplace
Преобразование Лапласа
ilaplace
Обратное преобразование Лапласа
ztrans
Z-преобразование
iztrans
Обратное Z-преобразование
Графические и интерактивные средства
ezplot
Построение графика символьной функции
funtool
Интерактивный графический калькулятор
rsums
Вычисление сумм Римана
58