Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики

Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Введение в динамичские системы» для направления 03.01.01 Математика
подготовки бакалавра
Правительство Российской Федерации
Нижегородский филиал
Федерального государственного автономного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет
Информатики математики и компьютерных наук
Программа дисциплины
Введение в динамические системы
для направления 01.03.01 Математика
подготовки академического бакалавра
Автор программы:
Гринес В.З., доктор физ.-мат. наук, профессор vgrines@hse.ru
Одобрена на заседании кафедры
Фундаментальной математики
Зав. кафедрой Починка О.В.
«___»____________ 2015 г
Рекомендована секцией УМС «Математика»
Председатель Починка О.В.
«___»____________ 2015 г
Утверждена УМС НИУ ВШЭ – Нижний Новгород
Председатель Бухаров В.М.
«___»_____________2015 г.
Нижний Новгород, 2015
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Динамические системы» для направления 03.01.02 Прикладная
математика и информатика подготовки бакалавра
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления подготовки 01.03.01 «Математика», изучающих
дисциплину «Введение в динамические системы».
Программа разработана в соответствии с:
- Образовательным стандартом ФГАУ ВПО НИУ-ВШЭ
по направлению подготовки
"Математика" (уровень подготовки: "бакалавр").
- Рабочим учебным планом университета по направлению подготовки 01.03.01 Математика,
утвержденным в 2015г.
Цели освоения дисциплины
Основной целью освоения дисциплины «Введение в динамические системы» является
знакомство с основными понятиями и результатами современной теории динамических систем.
К ним относятся: классификация траекторий и их
предельных множеств, грубость и
структурная устойчивость, типичные бифуркации, регулярная динамика и хаос, знакомство с
математическими моделями важнейших процессов естествознания. Целью курса является
также знакомство с методами качественной теории динамических систем, которые позволят
студентам в будущем более осмысленно и целенаправленно осваивать курс теории
динамических систем, включающий в себя изучение дифференциальных уравнений и
современных достижений качественной теории, теории бифуркаций и глобального анализа.
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Иметь представление об основных понятиях и результатах современной теории
динамических систем.
 Уметь качественно исследовать простейшие модели регулярной и хаотической
динамики.
 Приобрести опыт применения методов качественной теории динамических
систем к исследованию современных задач.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
Готовность использовать
методы качественной
теории динамических
систем для теоретического
и экспериментального
исследования при работе в
какой-либо предметной
области
Способность аналитически
работать с информацией из
различных источников,
включая глобальных
компьютерных сетях
Способность
Код по
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
ОНК-4 студент демонстрирует знакомство
с законами естественнонаучных
дисциплин и владение их
методами в ходе учебной
подготовки к решению задач
профессиональной деятельности
ИК-4
ПК-1
в ходе подготовки к занятиям
студент
получает
и
совершенствует навыки работы с
информационными источниками
различного типа
студент способен демонстрировать
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Чтение лекций, проведение
практических занятий,
самостоятельная работа
Самостоятельная работа
Чтение лекций, проведение
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 03.01.02 Прикладная
математика и информатика подготовки бакалавра
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Код по
НИУ
Компетенция
демонстрации
общенаучных базовых
знаний естественных наук,
математики и
информатики, понимание
основных фактов,
концепций, принципов
теорий, связанных с
прикладной математикой и
информатикой
Способность понимать и
применять в
исследовательской и
прикладной деятельности
современный
математический аппарат
Способность собирать,
обрабатывать и
интерпретировать данные
современных научных
исследований,
необходимые для
формирования выводов по
соответствующим
научным,
профессиональным,
социальным и этическим
проблемам
общенаучные знания математики
и
информатики,
понимание
основных фактов, концепций,
принципов теорий, связанных с
прикладной
математикой
и
информатикой
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
практических занятий,
самостоятельная работа
ПК-2
студент способен применять в
исследовательской и прикладной
деятельности современный
математический аппарат
Чтение лекций, проведение
практических занятий,
самостоятельная работа
ПК-6
студент способен собирать,
обрабатывать и интерпретировать
данные современных научных
исследований
Чтение лекций, проведение
практических занятий,
самостоятельная работа
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к профессиональному циклу дисциплин и блоку
дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра по направлению 01.03.01 «Математика».
Настоящая дисциплина является базовой.
Изучение данной дисциплины базируется на хорошем владении математическим
аппаратом выпускника средней общеобразовательной школы.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями: знать основы математического анализа, алгебры и геометрии в рамках средней
общеобразовательной школы, уметь решать типовые школьные задачи по математике, помнить
основные математические теоремы школьного курса математики.
Основные положения дисциплины должны быть использованы при изучении следующих
дисциплин: «Дифференциальные уравнения и динамические системы», «Введение в
топологию», «Геометрия», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Теория
функций комплексного перменного», «Методы оптимизации».
Тематический план учебной дисциплины
№
1
Всего
часов
Название раздела
Дискретная
одномерная
динамика
на
50
3
Аудиторные часы
СамостояПрактиче
тельная
Лекци Семин
ские
работа
и
ары
занятия
24
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 03.01.02 Прикладная
математика и информатика подготовки бакалавра
2
3
4
5
интервале и окружности.
Векторные поля и слоения на
поверхностях
Дискретные динамические системы на
поверхностях
Дискретные динамические системы на 3многообразиях
Взаимосвязь межу динамикой
диффеоморфизма и топологией
объемлющего
многообразия.
30
14
50
22
10
4
18
6
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Форма
контроля
Текущий
(неделя)
Доклад на
семинаре
Домашнее
задание
Экзамен
Промежуточный
Итоговый
Экзамен
1 год
Параметры
1
4,8
2
4, 8
3
5, 10
4
5, 10 40 минут
1,3,
5,7
1,3,
5,7
*
1,3,
5,7,9
1,3, Письменная работа (3-4 задачи),
5,7,9 подготовка к докладу.
Устно-письменная работа 80 минут
*
Устно-письменная работа 100 минут
Критерии оценки знаний, навыков
Студент должен продемонстрировать хорошее владение определениями и основными
понятиями качественной теории динамических систем, а также умение доказывать ряд
нетривиальных результатов, характеризующих динамику систем, заданных на многообразиях
малой размерности. Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти
балльной шкале. При проведении контролей осуществляется выдача индивидуальных заданий.
Порядок формирования оценок по дисциплине
Преподаватель оценивает работу студентов на семинарских занятиях: оценивается
активность участия студента в научном семинаре и уровень его самостоятельности при
подготовке докладов на семинаре. Оценки за работу на семинарских занятиях преподаватель
выставляет в рабочую ведомость. Результирующая оценка по 10-ти балльной шкале за работу
на семинарских занятиях также заносится в рабочую ведомость.
Накопленная оценка за текущий контроль (1-2 модуль) учитывает результаты студента
по текущему контролю следующим образом:
Онакопленная1 = 0,5·Ок/р +0,5·Одз
Оценка за промежуточный контроль в форме экзамена выставляется по следующей
формуле, где Оэкзамен1 – оценка за работу непосредственно на экзамене:
Опромежуточный = 0,5·Оэкзамен1 +0,5·Онакопленная1
Накопленная оценка за текущий контроль (3-4 модуль) учитывает результаты студента
по текущему контролю следующим образом:
4
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 03.01.02 Прикладная
математика и информатика подготовки бакалавра
Онакопленная2 = 0,5·Ок/р +0,5·Одз
Результирующая оценка за итоговый контроль в форме экзамена выставляется по
следующей формуле, где Оэкзамен2 – оценка за работу непосредственно на экзамене:
Оитоговый =0,5·Оэкзамен2 + 0,5·Оитоговая накопленная
где Оитоговая накопленная = (Опромежуточная +Онакопленная2) : 2
Способ округления оценок – арифметический.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей
оценкой по учебной дисциплине.
Содержание дисциплины
План семинарских занятий.
1. Дискретная одномерная динамика на интервале и окружности.
1. Простейшие модели роста популяции. Модель неограниченного роста по закону
геометрической прогрессии (закон Мальтуса). Модель ограниченного роста (Закон
Ферхюльста). Однопараметрическое семейство логистических уравнений. Различные
виды поведения дискретной модели в зависимости от параметра. Понятие дискретной
динамической системы и ее орбит. Определение неподвижной и периодической точек
(орбит), а также неподвижной и периодической точек со временем (преднеподвижной и
предпериодической). Примеры (2 часа).
2. Асимптотическое поведение орбит дискретной динамической системы. Проблема
предсказания «судьбы траектории». Примеры различного поведения траекторий у
различных систем. Проблема существования периодических орбит разного периода.
Результат А.Н. Шарковского: «существование орбиты периода 3 влечет хаос».Методы
наблюдения за асимптотическим поведением орбит динамической системы (график
орбиты, гистограмма орбиты, диаграмма Ламерея) (2 часа).
3. Методы отыскания неподвижных точек и периодических орбит (аналитический,
качественный и численный). Рассмотрение примеров. Понятие о блуждающих и
неблуждающих точках дискретной динамической системы (отображения). Структура
неблуждающего и блуждающего множества их инвариантность. Предельные множества
данной траектории и динамической системы (2 часа).
4. Типы неподвижных и периодических точек (орбит). Понятие о стоковой, источниковой,
нейтральной неподвижной и периодической точке (орбиты). Достаточное условие для
определения типа неподвижной точки (орбиты). Объяснить корректность признака для
периодической точки. Применение диаграммы Ламерея для определения типа
неподвижной точки и асимптотического поведения орбит отображения. Нахождение
неподвижных точек различных отображений из логистического семейства. Другие
примеры (2 часа).
5. Понятие о бифуркации системы и бифуркационном значении параметра. Бифуркации
неподвижных точек и периодических орбит, связанные со сменой типа, появлением и
исчезновением. Бифуркация касания или седло-узел, бифуркация «вилка».
Бифуркационные диаграммы. Примеры. Бифуркация удвоения периода. Исследование
логистического семейства с точки зрения существования последовательности
бифуркационных значений параметра, приводящих к хаосу (2 часа).
6. Динамические системы с хаотическим поведением. Открытое множество систем с
хаотическим поведением. Качественные и численные методы, иллюстрирующие
понятие хаоса. Три атрибута хаоса (плотность множество периодических точек,
5
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 03.01.02 Прикладная
математика и информатика подготовки бакалавра
существование транзитивной орбиты, чувствительная зависимость орбит от начальных
условий). Иллюстрация этих свойств на примере растягивающего отображения (2 часа).
7. Понятие о топологической эквивалентности динамических систем. Примеры.
Динамические системы на замкнутом интервале, порожденные взаимно-однозначными и
непрерывными отображениями (гомеоморфизмами). Топологическая классификация
стоковых и источниковых неподвижных точек гомеоморфизмов. Топологическая
классификация гомеоморфизмов замкнутого интервала, обладающих конечными
множествами стоковых и источниковых периодических точек (2 часа).
8. Понятие грубости и структурной устойчивости гладкого отображения замкнутого
интервала. Необходимые и достаточные условия грубости диффеоморфизма
замкнутого интервала. Схема доказательства (2 часа).
9. Диффеоморфизмы Морса-Смейла на окружности. Необходимые и достаточные условия
грубости. Топологическая классификация и реализация. Результаты А.Г. Майера (2
часа).
10. Число вращения Пуанкаре для гомеоморфизмов окружности. Доказательство его
существования. Взаимосвязь между арифметическими свойствами числа вращения и
динамикой гомеоморфизм (2 часа).
11. Рациональные и иррациональные повороты окружности. Топологическая
классификация периодических и транзитивных гомеоморфизмов окружности.
12. Гомеоморфизмы окружности с нигде неплотными рекуррентными орбитами отличными
от периодических. Понятие о канторовском множестве. Пример Данжуа.
Топологическая классификация гомеоморфизмов с нигде неплотными рекуррентными
орбитами (отличными от периодических орбит) (2 часа).
2. Векторные поля и слоения на поверхностях.
13. Топологическая классификация замкнутых ориентируемых поверхностей. Понятие о
роде поверхности. Представление ориентируемой поверхности отличной от сферы как
фактор-пространство эвклидовой плоскости (в случае тора) и плоскости Лобачевского
по дискретной группе движений (2 часа).
14. Векторные поля на поверхностях. Траектории векторного поля. Состояния равновесия.
Понятие об индексе состояния равновесия. Эйлерова характеристика поверхности.
Формула Эйлера-Пуанкаре (2 часа).
15. Векторные поля на двумерном торе без состояний равновесия. Рациональные и
иррациональные обмотки тора. Число вращения Пуанкаре для ориентируемых слоений
на торе как асимптотическое направление слоев накрывающего слоения на эвклидовой
плоскости. Топологическая классификация транзитивных слоений на торе (2 часа).
16. Слоения на двумерном торе с нигде неплотными рекуррентными слоями (отличными от
замкнутых слоев. Пример Данжуа. Топологическая классификация слоений с
рекуррентными нигде неплотными слоениями (2 часа).
17. Понятие о 2-тканях на двумерном торе. 2-ткани с транзитивными слоениями и их
топологическая классификация (2 часа).
18. Асимптотическое поведение траекторий накрывающего векторного поля на плоскости
Лобачевского являющейся накрытием поверхности с отрицательной Эйлеровой
характеристикой. Гомотопический класс вращения. Топологическая классификация
транзитивных слоений на поверхностях (2 часа).
19. Проблема-Аносова-Вейля об отклонении траекторий накрывающего векторного поля от
соасимптотических геодезических. Теорема об ограниченном отклонении для
векторных полей с конечным числом состояний равновесия. Пример неограниченного
отклонения.
6
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 03.01.02 Прикладная
математика и информатика подготовки бакалавра
3. Дискретные динамическе системы на поверхностях.
20. Представление двумерного тора как фактор-пространства эвклидовой плоскости по
дискретной группе движений. Сдвиги на двумерном торе. Периодические отображения.
Условия транзитивности сдвигов на торе. Топологическая классификация
периодических отображений с орбитами одного периода (результат Нильсена) (2 часа) .
21. Дискретные динамические системы на замкнутых поверхностях. Типы неподвижных и
периодических точек (орбит): стоковые, источниковые и седловые. Понятие об
устойчивом и неустойчивом многообразии седловой точки и сепаратрисах.
Топологическая классификация неподвижных точек. Примеры.
22. Алгебраические автоморфизмы тора и их разбиение на 3 класса: периодические,
гиперболические и не являющиеся таковыми. Классификация периодических
автоморфизмов. Пример Тома гиперболического автоморфизма. Свойства дискретной
динамической системы, порожденной гиперболическим автоморфизмом: существование
счетного всюду плотного множества периодических точек, транзитивной орбиты и
чувствительной зависимости от начальных условий (атрибуты хаоса) . Существование
инвариантной 2-ткани, состоящей из трансверсальных устойчивых и неустойчивых
транзитивных слоений. Гомоклинические орбиты. (2 часа).
23. Понятие о диффеоморфизме Аносова на двумерном торе. Структурная устойчивость и
топологическая классификация диффеоморфизмов Аносова (2 часа).
24. Диффеоморфизм тора, полученный хирургической операцией из примера Тома. Понятие
об одномерном базисном множестве (2 часа).
25. Топологическая классификация просторно расположенных одномерных базисных
множеств на торе (2 часа).
26. Диффеоморфизм двумерной сферы типа «Подкова Смейла». Методы символической
динамики для описания орбит инвариантного множества со сложной динамикой (2 часа).
27. Понятие экспансивного гомеоморфизма поверхности. Примеры экспансивных
гомеоморфизмов. Отсутствие экспансивных гомеоморфизмов на двумерной сфере.
Экспансивные гомеоморфизмы двумерных ориентируемых поверхностей отличных от
сферы (2 часа).
28. Понятие о псевдоаносовском гомеоморфизме. Взаимосвязь экспансивных
гомеоморфизмов с псевдоаносовскими (теорема Левовица и Хирайде) (2 часа).
29. Каскады Морса-Смейла. Гетероклинические орбиты. Градиентно-подобные
диффеоморфизмы двумерных поверхностей. Взаимосвязь с периодическими
преобразованиями. Конструкция реализации градиентно-подобных диффеоморфизмов.
(2 часа).
30. Классификация градиентно-подобных диффеоморфизмов ориентируемых поверхностей
посредством графов Пейшото и трехцветных графов. (2 часа).
4. Дискретные динамические системы на трехмерных многообразиях.
31. Каскады Морса-Смейла на 3-многообразиях. Гетероклинические орбиты и
гетероклинические кривые. Пример Пикстона диффеоморфизма с дико вложенными
сепаратрисами седловых неподвижных точек. Узловые топологические инварианты и
классификация дифеоморфизмов из класса Пикстона (2 часа).
32. Построение полного топологического инварианта градиентно-подобного
диффеоморфизма без гетероклинических пересечений. Топологическая классификация и
реализация (2 часа).
5.
Взаимосвязь между динамикой диффеоморфизмов и топологией
объемлющего 3-многообразия.
7
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 03.01.02 Прикладная
математика и информатика подготовки бакалавра
33. Глобальные одномерные аттрактор и репеллер диффеоморфизма Морса-Смейла.
Разложение Хегора многообразия, допускающего градиентно-подобный
диффеоморфизм, определяемый его динамикой. Взаимосвязь динамики с минимальным
родом Хегора (2 часа).
34. Топологическая классификация многообразий, допускающих диффеоморфизмы МорсаСмейла без гетероклинических кривых (2 часа).
35. Топологическая классификация многообразий, допускающих динамические системы с
двумерным неблуждающим множеством (2 часа).
Образовательные технологии
При реализации учебной работы используются повторение основных положений
лекционного материала и разбор типовых практических задач.
Методические рекомендации преподавателю
Глубокие знания предмета следует представлять в максимально доступной, понятной и
мотивированной форме. Следует постоянно совершенствовать материалы занятий с учетом
последних достижений и разработок.
Методические указания студентам
Следует систематически посещать семинарские занятия. Материалы этих занятий
следует внимательно изучать и регулярно выполнять домашние задания и готовиться к
докладам на семинаре. На занятиях нужно вести себя активно. Следует иметь в виду, что
научный семинар «Введение в динамические системы» призван развить у студентов
инициативу и желание заниматься научной работой, что в дальнейшем будет использованы при
работе над выпускной работой бакалавра.
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Примерные типы докладов на научном семинаре:
1. Доказательство достаточного условия, определяющего тип неподвижной точки
отображения интервала.
2. Порядок Шарковского.
3. Топологическая классификация растягивающих отображений окружности.
4. Основные понятия фрактальной геометрии. Взаимосвязь с динамическими
системами.
5. Принцип сжатых отображений.
6. Биллиарды в прямоугольнике и слоения на торе.
7. Билларды в многугольниках и слоения на поверхностях.
8. Канторовские множества, мощность, мера и размерность.
9. Николай Иванович Лобачевский и неевклидова геометрия.
10. “Понятие о топологической энтропии. Вычисление энтропии эндоморфизмо
окруэности.
11. Континуумы Вады и одномерные базисные множества диффеоморфизмов
поверхностей.
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к экзамену по всему курсу.
8
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 03.01.02 Прикладная
математика и информатика подготовки бакалавра
1. Привести примеры одномерных динамических систем. Простейшие модели роста
популяции. Модель неограниченного роста по закону геометрической прогрессии
(закон Мальтуса). Модель ограниченного роста (Закон Ферхюльста).
2. Понятие дискретной динамической системы. Определение неподвижных,
периодических и предпериодических точек. Понятие об инвариантном
множестве. Привести примеры. Способы отыскания неподвижных и
периодических точек.
3. Однопараметрическое семейство логистических уравнений. Различные типы
поведения дискретной модели в зависимости от параметра.
4. Асимптотическое поведение орбит дискретной динамической системы. Проблема
предсказания «судьбы траектории». Примеры различного поведения траекторий у
различных систем.
5. Проблема существования периодических орбит разного периода. Результат А.Н.
Шарковского: существование орбиты периода 3 влечет существование
периодических точек всех периодов больших 3.
6. Методы наблюдения за асимптотическим поведением орбиты динамической
системы (временной ряд орбиты, гистограмма орбиты, диаграмма Ламерея).
7. Понятие о блуждающих и неблуждающих точках дискретной динамической
системы (отображения). Структура неблуждающего и блуждающего множества
их инвариантность. Предельные множества данной траектории и динамической
системы.
8. Типы неподвижных и периодических точек (орбит). Понятие о стоковой,
источниковой, нейтральной неподвижной и периодической точке (орбиты).
Достаточное условие для определения типа неподвижной точки (орбиты).
9. Применение диаграммы Ламерея для определения типа неподвижной точки и
асимптотического поведения орбит отображения. Примеры.
10. Понятие о бифуркации системы и бифуркационном значении параметра.
Бифуркации неподвижных точек и периодических орбит, связанные со сменой
типа, появлением и исчезновением. Бифуркация касания или седло-узел,
бифуркация «вилка». Бифуркационные диаграммы.
11. Бифуркация удвоения периода. Исследование логистического семейства с точки
зрения существования последовательности бифуркационных значений параметра,
приводящих к хаосу.
12. Динамические системы с хаотическим поведением. Открытое множество систем с
хаотическим поведением. Качественные и численные методы, иллюстрирующие
понятие хаоса.
13. Растягивающее отображение и его свойства.
14. Три атрибута хаоса. Иллюстрация этих свойств на примере растягивающего
отображения.
15. Понятие о топологической эквивалентности динамических систем. Примеры.
16. Топологическая классификация стоковых и источниковых неподвижных точек
гомеоморфизмов.
17. Понятие о гомеоморфизме интервала и окружности. Примеры. Топологическая
классификация гомеоморфизмов замкнутого интервала, обладающих
конечными множествами стоковых и источниковых периодических точек.
18. Понятие о гладком отображении и диффеоморфизме интервала и окружности.
Понятие грубости и структурной устойчивости гладкого отображения замкнутого
интервала.
19. Необходимые и достаточные условия грубости диффеоморфизма замкнутого
интервала. Схема доказательства.
9
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 03.01.02 Прикладная
математика и информатика подготовки бакалавра
20. Понятие о диффеоморфизмах Морса-Смейла на окружности. Необходимые и
достаточные условия грубости.
21. Топологическая классификация и реализация диффеоморфизмов Морса-Смейла
на окружности. Результаты А.Г. Майера.
22. Гомеоморфизмы окружности. Примеры. Число вращения Пуанкаре для
гомеоморфизмов окружности. Доказательство его существования.
23. Взаимосвязь между арифметическими свойствами числа вращения и динамикой
гомеоморфизм.
24. Рациональные и иррациональные повороты окружности. Топологическая
классификация периодических и транзитивных гомеоморфизмов окружности.
25. Понятие о канторовском множестве. Примеры. Гомеоморфизмы окружности с
нигде неплотными рекуррентными орбитами отличными от периодических.
Пример Данжуа.
26. Топологическая классификация гомеоморфизмов с нигде неплотными
рекуррентными орбитами (отличными от периодических орбит).
27. Понятие о классификация замкнутых ориентируемых поверхностей. Понятие о
роде поверхности.
28. Представление ориентируемой поверхности отличной от сферы как факторпространство эвклидовой плоскости (в случае тора) и плоскости Лобачевского
по дискретной группе движений.
29. Векторные поля на поверхностях. Траектории векторного поля. Состояния
равновесия. Понятие об индексе состояния равновесия. Понятие об индексе
состояния равновесия.
30. Эйлерова характеристика поверхности. Формула Эйлера-Пуанкаре.
31. Векторные поля на двумерном торе без состояний равновесия. Рациональные и
иррациональные обмотки тора. Число вращения Пуанкаре для ориентируемых
слоений на торе как асимптотическое направление слоев накрывающего слоения
на эвклидовой плоскости.
32. Топологическая классификация транзитивных слоений на торе.
33. Слоения на двумерном торе с нигде неплотными рекуррентными слоями
(отличными от замкнутых слоев. Пример Данжуа. Топологическая
классификация слоений с рекуррентными нигде неплотными слоениями.
34. Понятие о 2-тканях на двумерном торе. 2-ткани с транзитивными слоениями и их
топологическая классификация.
35. Асимптотическое поведение траекторий накрывающего векторного поля на
плоскости Лобачевского являющейся накрытием поверхности с отрицательной
Эйлеровой характеристикой. Гомотопический класс вращения. Топологическая
классификация транзитивных слоений на поверхностях.
36. Понятие о проблеме Аносова-Вейля об отклонении траекторий накрывающего
векторного поля от соасимптотических геодезических. Ограниченность
отклонении для векторных полей с конечным числом состояний равновесия.
Пример неограниченного отклонения.
37. Сдвиги на двумерном торе. Периодические отображения. Условия
транзитивности сдвигов на торе.
38. Топологическая классификация периодических отображений с орбитами одного
периода.
39. Типы неподвижных и периодических точек (орбит) гомеоморфизмов
поверхностей : стоковые, источниковые и седловые. Понятие об устойчивом и
неустойчивом многообразии седловой точки и сепаратрисах. Топологическая
классификация неподвижных точек. Примеры.
40. Алгебраические автоморфизмы тора и их разбиение на 3 класса (периодические,
гиперболические и не являющиеся таковыми).
10
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 03.01.02 Прикладная
математика и информатика подготовки бакалавра
41. Классификация периодических автоморфизмов тора.
42. Пример Тома гиперболического автоморфизма и его свойства. Гомоклиническе
орбиты. Существование инвариантной 2-ткани, состоящей из трансверсальных
устойчивых и неустойчивых транзитивных слоений.
43. 3 признака хаоса гиперблического автоморфизма тора.
44. Понятие о диффеоморфизме Аносова на двумерном торе. Структурная
устойчивость и топологическая классификация диффеоморфизмов Аносова.
45. Диффеоморфизм тора, полученный хирургической операцией из примера Тома.
Понятие об одномерном базисном множестве.
46. Топологическая классификация просторно расположенных одномерных базисных
множеств на торе.
47. Диффеоморфизм двумерной сферы типа «Подкова Смейла». Методы
символической динамики для описания орбит инвариантного множества со
сложной динамикой.
48. Понятие экспансивного гомеоморфизма поверхности. Примеры. Понятие о
псевдоаносовском гомеоморфизме.Взаимосвязь экспансивных гомеоморфизмов с
псевдоаносовскими (теорема Левовица и Хирайде).
49. Каскады Морса-Смейла на поверхностях. Гетероклинические орбиты.
Градиентно-подобные диффеоморфизмы двумерных поверхностей. Взаимосвязь с
периодическими преобразованиями. Конструкция реализации градиентноподобных диффеоморфизмов.
50. Классификация градиентно-подобных диффеоморфизмов ориентируемых
поверхностей посредством графов Пейшото и трехцветных графов.
51. Каскады Морса-Смейла на 3-многообразиях. Гетероклинические орбиты и
гетероклинические кривые.
52. Пример Пикстона диффеоморфизма с дико вложенными сепаратрисами седловых
неподвижных точек. Узловые топологические инварианты и классификация
дифеоморфизмов из класса Пикстона.
53. Построение полного топологического инварианта градиентно-подобного
диффеоморфизма без гетероклинических пересечений. Топологическая
классификация и реализация.
54. Классификация трехмерных многообразий Милнора-Кнезера. Разложение
Хегора 3-многообразия. Понятие о минимальном роде Хегора.
55. Построение глобальных одномерного аттрактора и репеллера градиентноподобного диффеоморфизма на 3-многообразия.
56. Взаимосвязь динамики с минимальным родом Хегора..
57. Топологическая классификация многообразий, допускающих диффеоморфизмы
Морса-Смейла без гетероклинических кривых.
58. Топологическая классификация многообразий, допускающих динамические
системы с двумерным неблуждающим множеством.
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
[1] Каток А. Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динами-ческих систем.
М.: Изд-во «Факториал», 1999. 768 с.
[2] В.З. Гринес, О.В. Починка. Введение в топологическую классификацию каскадов на
многообразиях размерности два и три. Москва-Ижевск. 423 с. 2011.
[3] Paul Blanchard, Robert L. Devaney, Glen R. Hall. Differential Equations. Brooks/Cole.
834 p. (2011).
[4] Нитецки З. Введение в дифференциальную динамику. М.: Мир, 1975.
[5] Немыцкий В.В, Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных
11
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 03.01.02 Прикладная
математика и информатика подготовки бакалавра
уравнений. М. Л.: Гостехиздат, 1947.
[6] А. Пуанкаре. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Серия
``Классики естествознания" МЛ.: ОГИЗ, 1947.
[7] И. Тамура Топология слоений. М.: Мир, 1979.
[8] С. Смейл, “Дифференцируемые динамические системы”, Успехи математических
наук ,25:1(151) (1970), 113–185.
[9] С. Х. Арансон, В. З. Гринес, “Топологическая классификация потоков на замкнутых
двумерных многообразиях”, Успехи математических наук,41:1(247) (1986), 149–169.
[10] С. Х. Арансон, В. З. Гринес, “Топологическая классификация каскадов на
замкнутых двумерных многообразиях”, УМН, 45:1(271) (1990), 3–32
[11]
В. З. Гринес,
О. В. Починка,
“Каскады
Морса–Смейла
на
3многообразиях”, УМН, 68:1(409) (2013), 129–188.
[12] Е.В. Жужома, Элементы одномерной динамики. Методическая разработка. ННГУ.
Нижний Новгород. 13с. 2004.
[13] В.Ш. Бурд. Введение в динамику одномерных отображений. Учебное пособие
Ярославль. 104 с. 2006.
[14] Потоки на прямой в приложениях. Учебно-методическое пособие. Нижний
Новгород. 65 c. 2013.
[15] Гринес В.З., Гуревич Е.Я., Починка О.В.} Введение в топологическую
классификацию диффеоморфизмов Морса-Смейла: Учебно-методическое пособие. -- Нижний
Новгород:
Нижегородский госуниверситет, 2010. -- 30 с.
Автор программы
В.З. Гринес
12